Algorithme pour résoudre un système d'edp
Bonjour,
j'ai le système de deux équations différentielles suivant, sur $Q_T= [0,L] \times [0,H] \times [0,T]$:
\begin{align*}
\dfrac{\partial v}{\partial t}&= \Delta v - \dfrac{\partial v}{\partial x}- V, \\
\dfrac{\partial u}{\partial t}&= v(x,0,t)-u,
\end{align*} avec les conditions au bord :
\begin{align*}
x=0,\quad L:& \dfrac{\partial v}{\partial x}=0,
\\
y=0: &\dfrac{\partial v}{\partial y}=- u + v(x,0,t),
\\
y=H:& \dfrac{\partial v}{\partial y}=0,
\end{align*} et les conditions initiales
$$
v(x,y,0)=v_0,\quad u(x,y,0)=u_0.
$$ Je peine à trouver un algorithme numérique pour calculer $v$ et $u$ les solutions de ce problème,
car il faut calculer $v(x,y,t)$ en utilisant $v(x,0,t)$! J'ai pensé à utilisé un point fixe mais je n'ai pas su trouver le bon critère de convergence.
Merci d'avance pour toute aide.
j'ai le système de deux équations différentielles suivant, sur $Q_T= [0,L] \times [0,H] \times [0,T]$:
\begin{align*}
\dfrac{\partial v}{\partial t}&= \Delta v - \dfrac{\partial v}{\partial x}- V, \\
\dfrac{\partial u}{\partial t}&= v(x,0,t)-u,
\end{align*} avec les conditions au bord :
\begin{align*}
x=0,\quad L:& \dfrac{\partial v}{\partial x}=0,
\\
y=0: &\dfrac{\partial v}{\partial y}=- u + v(x,0,t),
\\
y=H:& \dfrac{\partial v}{\partial y}=0,
\end{align*} et les conditions initiales
$$
v(x,y,0)=v_0,\quad u(x,y,0)=u_0.
$$ Je peine à trouver un algorithme numérique pour calculer $v$ et $u$ les solutions de ce problème,
car il faut calculer $v(x,y,t)$ en utilisant $v(x,0,t)$! J'ai pensé à utilisé un point fixe mais je n'ai pas su trouver le bon critère de convergence.
Merci d'avance pour toute aide.
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Réponses
j'ai besoin d'un esprit clair pour m'aider à résoudre ce problème.
On a le problème suivant constitué de deux équations et qu'on va nommer MainSys
posée sur $[0,T] \times [0,L] \times [0,H]$.
$$
MainSys(v,u)=
\begin{cases}
\dfrac{\partial v}{\partial t}= \Delta v - \dfrac{\partial v}{\partial x} - v(x,0,t),\\
\dfrac{\partial u}{\partial t}= v(x,0,t)-u
\end{cases}
$$ On note $vk=v(x,0,t)$.
On remarque que pour calculer $v(x,y,t)$ et $u(x,y,t)$, on a besoin de $v(x,0,t),$ alor qu'on est en train de calculer $v(x,y,t)$ en même temps.
C'est pour ça qu'on peut penser à introduire un nouveau problème nommé extend qui nous done $v$ à $y$-constant, et dont la formulation variationnelle est donnée par :
$$
\int_0^L \int_0^H dy(v) * dy(x) dx dy.
$$ Du coup j'ai pensé à l'algorithme suivant :
1- dans MainSys, on note $v(x,0,t)=nith$ avec comme valeur initiale $nith=v0$ ;
2- on résout MainSys qui nous donne une nouvelle valeur de $v$ ;
3- on résout extend qui nous donne $vk$ correspondant au $v$ trouvé dans 2
puis on refait l'opération pour chaque $t$.
Question : est-ce qu'il nous faut une condition de convergence ? Si oui laquelle ?
Aussi je remarque qu'avec ce raisonnement, si on écrit alors on remarque que les solutions de MainSys sont identiques aux solutions de extend.
Je n'arrive pas à comprendre où se situe l'erreur.
Merci d'avance pour votre aide.
[Restons dans la discussion que tu as ouverte pour cet algorithme. AD]