evt : voisinage équilibré de 0

Bonne année Zephir

Tous les voisinages de zéro sont absorbants, par définition du fait que pour tout vecteur x, ax doit tendre vers le vecteur nul (zéro) quand a tend vers 0.



Maintenant, concernant la question de l'auteur du fil, voyons ce qui se passe. Le problème c'est que je ne sais plus ce que veut dire "équilibré". Si ça veut juste dire "stable par passage à l'opposé", et si B contient 0 dans son interieur, cela signifie que tout x superproche de 0 est dans B et voyons ce qu'on peut dire de l'interieur de B: soit a un elt de cet interieur. Est-ce que (-a) est aussi interieur à B? Reponse, s'il ne l'était pas alors il existerait un y superproche de (-a) qui ne serait pas dans B. Et comme B est equilibré, (-y) (qui est superproche de a) ne serait pas dans B contradiction, donc, non seulement la réponse est oui, mais en plus il n'y a aucune raison de supposer que B contient zéro, on ne s'en est pas servi.

On peut énoncer que si B est équilibré alors son intérieur aussi est équilibré et ceci est juste dû à la continuité de l'application qui envoie chaque x sur (-x).

Comme j'ai raisonné en ANS, il te reste (auteur du fil) à faire l'exo proprement (mais ce n'est rien, il suffit d'écrire les def)

On ne sait plus très bien la définition d'une partie équilibrée. Au secours monseigneur.

Donc si $B$ est équilibrée et $V$ est son intérieur, $\lambda V$ est un ouvert** inclus dans $B$. Par conséquent, $\cup_{|\lambda|\le 1}\lambda V$ est un ouvert inclus dans $V$, évidemment équilibré et évidemment plus grand que $V$...

* Edit : l'hypothèse $0\in V$ est nécessaire pour que la réunion soit un ouvert, même si on accepte $\lambda=0$.

** Redit : grrr, pour $\lambda\neq 0$, œuf corse.

Euh, ce $B$ ne m'a pas du tout l'air équilibré. J'irais même jusqu'à dire qu'il fait un peu déséquilibré sur les bords...:D

Si je peux me permettre monseigneur, il manque des segments en pointillés dans la figure du milieu, à l'intérieur du cercle qui est au milieu.

zephir a écrit:

Si je peux me permettre monseigneur, il manque des segments en pointillés dans la figure du milieu, à l'intérieur du cercle qui est au milieu.

En fait, si j'avais peaufiné, j'aurais plutôt fait comme ceci :

Je ne peaufine pas le tonneau, chacun voit ce qu'il faut faire...

Ah d'accord ! Je ne voyais pas où tu voulais en venir avec les pointillés..........

De mêêêêêêêêêêême, Christophe !:)-D