Image continue d'un ensemble denombrable

supernova
supernova
dans Topologie
Bonsoir,
voici une question qui me traverse l'esprit en ce moment , est ce que l'image par une application continue d'un ensemble dénombrable est elle même dénombrable ?
Merci,

Réponses

  • ltngom
    ltngom
    Il me semble qu'évidement l'image par une application continue d'un ensemble dénombrable est dénombrable.
    La preuve $f\big((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\big)=\big(f(x_n\big))_{n\in\mathbb{N}}$
  • supernova
    supernova
    oui c'est ce que j'avais pensé aussi, merci.
  • Ga?
    Ga?
    Et la continuité n'a rien à voir dans l'histoire. (On suppose que "dénombrable" veut dire "fini ou infini dénombrable", n'est-ce pas ?)
  • christophe c
    christophe c
    à supernova, je m'associe à la perplexité de Ga? : pourquoi as-tu posé la question de cette manière, c'est à dire en rajoutant "continue" (ça sous-entend que tu considérais que sans "continue", c'était soit faux, soit encore plus problématique), or il n'y a rien à prouver, ce sont des histoires de définitions:

    définition: un ensemble E est dénombrable quand il existe une application f de $\N$ dans $E$ qui est surjective, autrement dit quand il est l'image* de $\N$ par une application allant de $\N$ dans quelque chose.

    supposons maintenant qu'il y ait une application $g$ de $E$ dans $F$. L'image de $E$ par $g$ est alors l'image de $\N$ par $gof$ qui est par définition dénombrable.

    * la terminologie est mal faite, ce n'est pas "l'image" au sens où on l'entend en seconde, mais l'image dans le sens suivant: Image(f,X):=$\{y/\exists x\in X: y=f(x) \}$
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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