théorème de Riesz et projection

Titre initial : {\bf théorème de Riesz et projection parallele à un vecteur}

Bonjour, je souhaite savoir si le raisonnement ci-dessous, est juste.
On se place dans un EVN, de dimension quelconque.
But : démontrer le théorème de Riesz :

La boule unité est compacte, alors l'espace vectoriel est de dimension finie

On suppose $B(0,1)$ compacte. Soit le recouvrement (d\'ouverts) $(B(x,\frac{1}{2})),\ x\in \R$ boules ouvertes de $B(0,1)$. D'aprés la propriété de Borel-Lebesgue, il existe un sous-recouvrement fini de la boule unité : $B(x_i,\frac{1}{2}),\ i\in [1,k]$. On considére l'espace vectoriel engendré par $(x_1,\ldots,x_k)$
Montrons que $B(0,1)\subseteq Vect(x_1,\ldots,x_k)$

Soit $x\in B(0,1)$, soit $i\in\{1,\ldots,k\}$ ; $d(x,x_i)=\inf\limits_{j\in\{1\ldots k\}} d(x,x_j) $ où $d$ est la distance induite par la norme $N$. On projette parallèlement à $x_i-x_{i-1},\ x \in Vect(x_i)$, (droite vectorielle).
Soit $P_{\frac{x_i}{x_i-x_{i-1}}}=P$ cette projection. On a $P(x)=\alpha x_i$ et $x-P(x)=\beta(x_i-x_{i-1})$ d'où : $x=\alpha x_i + \beta(x_i-x_{i-1})$. Finalement, $x\in Vect(x_1,\ldots,x_k)$ et $B(0,1)\subseteq Vect(x_1,\ldots,x_k)$. Soit $x\in E,\ x$ non nul $\dfrac{x}{N(x)} \in B(0,1)$ alors, $x\in Vect(x_1,\ldots,x_k)$ et $E\subseteq Vect(x_1,\ldots,x_k)$.

Finalement, ce qui me paraît le plus douteux dans le raisonnement, c'est la projection parallèle à une droite vectorielle dans un espace de dimension quelconque (a priori pouvant être infinie)
Je pense que si l'espace est séparable, on peut donner du sens à une telle projection, mais dans les autres cas ?

Merci, de m'aider à lever le doute, si la projection à un sens dans tout evn, pouvez-vous m'en donner une définition (dans le cas infini), merci d'avance !!!


[Merci à Toto pour l'essai de correction du LaTeX.
1nouvo : C'est toute l'expression mathématique qu'il faut encadrer par des \$, pas quelques termes isolés. AD]