Boule contenant un compact

Je dirait qu'on peut commencer par prendre deux points $A$ et $B$ du compact qui maximisent $d(A,B)$, puis prendre $O$ le milieu de $AB$. La boule de centre $0$ de rayon $R=d(A,B)/2$ est la boule qu'on cherche :
a) elle contient $K$ (conséquence de l'inégalité triangulaire)
b) elle est de rayon minimal (car elle contient deux point distants de $2R$)
c) C'est la seule car si une autre boule de rayon $R$ convient, cette dernière doit contenir $A$ et $B$ qui forment un diamètre.

Non, et pour cause...désolé, c'est évidemment faux...

Les exemples du triangle équilatéral et du carré montrent que la relation entre le diamètre du compact et celui de la boule n'est pas triviale.

tu fixes u point $O$ dans $K$ ensuite tu prends le $sup\{d(O,M)|M\in K\}$
ce sup existe il suffit de prendre une suite de $K$ et d'utilliser la compacité de $K$ et tu prend comme rayon de ta boule $10sup\{d(O,M)|M\in K\$ et voila

geoffrey

tu fixes u point $O$ dans $K$ ensuite tu prends le $ sup\{ d(O,M)|M\in K\}$
ce sup existe il suffit de prendre une suite de $K$ et d'utilliser la compacité de $K$ et tu prends comme rayon de ta boule $ 10 sup\{d(O,M)|M\in K\$ et voila

geoffrey

Tu fixes un point $O$ dans $K$ ensuite tu prends le $\sup\{d(O,M)\mid M\in K\}$
Ce $\sup$ existe il suffit de prendre une suite de $K$, d'utilliser la compacité de $K$ et tu prends comme rayon de ta boule $10. \sup\{d(O,M)\mid M\in K\}$ et voilà

geoffrey

oui mais je n'avais pas lu son message en entier car il parlait d'intégrale le 10 c'est pour m'amuser comme ça je suis sur que le compact rentre dedans et qu'il n'est pas sérré lol

Oui mais je n'avais pas lu son message en entier car il parlait d'intégrale. Le 10 c'est pour m'amuser, comme ça je suis sûr que le compact rentre dedans et qu'il n'est pas sérré( lol).

Bonjour,

Non seulement la boule de rayon minimal n'est a priori pas forcément de diamètre le diamètre du compact, mais il n'est pas non plus vrai en général que le centre de la boule en question est dans le compact.

Voici une esquisse de solution.
On commence par prendre une suite $r_n$ de rayons tendant vers $r$ en décroissant, l'infimum des rayons des boules contenant $K$.
Il existe une suite $x_n$ de rayons tels que $B(x_n,r_n)$ contienne $K$. Ces $x_n$ ne sont pas forcément dans $K$, mais comme $(r_n)$ décroît, il est possible de les inclure dans une grande boule, qui est compacte.
On peut donc extraire une suite convergente de la suite $(x_n)$ qui converge vers un point $x$. Une ou deux utilisations judicieuses de l'inégalité triangulaire, et des découpages en $\varepsilon$, montrent que la boule de centre $x$ et de rayon $r$ contient $K$.

Pour l'unicité, un dessin et une application intelligente du théorème de Pythagore suffisent.


On peut montrer pas mal de choses avec ça. Par exemple, un groupe compact d'isométries affines a une orbite compacte, donc stabilise un point (le centre de la boule de rayon minimal en question), donc est conjugué à un sous groupe de O(n).

Je me pose une petite question sur une généralisation de ce résultat :

Soit $(E,d)$ un espace métrique.
A quelles conditions (les plus fines possibles) peut-on affirmer que pour toute partie bornée $A$, il existe une boule fermée contenant $A$ de rayon minimal ?

Intuitivement j'imagine mal un espace métrique $E$ et une partie bornée de $E$ qui ne soit incluse dans aucune boule fermée. Pourtant pour le problème initial on a utilisé le fait qu'une boule fermée est compact ce qui est faux en général.


Pour l'unicité je sens que cela va se corser (je pense à la distance discrète et je crains qu'on ne puisse rien dire...)


Joyeux réveillon.
a+

@Sisbai : désolé de rafraîchir le post, mais je crois que si on considère un espace de Hilbert on peut obtenir l'unicité de la boule fermée contenant $A$ (non vide) !