mesure d'un connexe

Ah bon ?
Moi je serais tenté de dire non. Je pense à GLn+(R), le groupe des matrices de déterminant >0, qui est connexe par arcs, ouvert et de mesure nulle (car on m'a dit un jour sur ce forum que GLn(R) était de mesure nulle - je n'ai pas vérifié). Par contre son adhérence n'est pas de mesure nulle car GLn+(R) et GLn-(R) sont disjoints, donc adh(GLn+(R)) U adh(GLn-(R)) = Mn(R), or il me semble clair que adh(GLn+(R)) et adh(GLn-(R)) ont même mesure (infinie donc).

Lebesgue, qu'on excusera pour ce raisonnement un peut tiré par les cheveux.

Dans le cas non connexe, dans $\R^2$, si on note $(q_n)$ les points à coordonnées rationnelles du carré unité, et qu'on prend l'ouvert $\displaystyle\bigcup_{n\geq 0}B(q_n,\frac{1}{6.2^n})$, ça donne déja un contre exemple évident, ce qui n'est pas bon signe pour le cas connexe. (après tout, rien ne nous dit que cet ensemble n'est pas connexe)

somme des diamètres restants, j'ai oublié un mot !

Ah zut, je pensais pas avoir sorti quelque chose de si bateau.
<BR>Par contre je ne comprends pas trop ton argument pour la non connexité: moi je n'ai pris les boules que dans le disque unité. Je veux bien croire que c'est pas connexe, mais ça semble pas évident.<BR>

Je pense que non. Si tu prends les rationnels que tu indexes en une suite $q_n$.Tu prends un intervalle ouvert $]q_n-1/2^n,q_n+1/2^n[$. La reunion de ces intervalles te donne un ensemble E dont tu fais le produit par $]0,1[$ dans $\R^2$, ce qui donne un ensemble F. Mesure(F)=2 et mesure (adherence(F))=infini. Il ne reste plus qu'a relier chaque partie connexe de F a une autre par des arcs de cercles de plus en plus fin (vu que $\N^2=\N$) ce qui donnera un ensemble G ouvert de mesure fini dont l'adherence est de mesure infinie.

$Gl_n(\R)$ de mesure nulle? , j' ai quand même un petit doute étant donné que $\{M \in B(Id,1) \}$ est composé de matrices inversibles...

Par "arcs de cercle" je voulais dire des translatés d'ensembles ouverts du type
<BR><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="242" HEIGHT="34" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/10/92682/cv/img1.png&quot; ALT="$ \{(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2\vert r^2<x_1^2+x_2^2<R^2\}$"></SPAN>. Vu qu'on a une bijection <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="13" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/10/92682/cv/img2.png&quot; ALT="$ \phi$"></SPAN> de <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="22" HEIGHT="16" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/10/92682/cv/img3.png&quot; ALT="$ \mathbb{N}^2$"></SPAN> dans <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/10/92682/cv/img4.png&quot; ALT="$ \mathbb{N}$"></SPAN>, on relie <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="19" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/10/92682/cv/img5.png&quot; ALT="$ q_n$"></SPAN> à <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="22" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/10/92682/cv/img6.png&quot; ALT="$ q_m$"></SPAN> par un "arc de cercle" d'aire inferieure à <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="68" HEIGHT="37" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/07/10/92682/cv/img7.png&quot; ALT="$ 1/2^{\phi(n,m)}$"></SPAN> et leurs reunions est de mesure finie.
<BR>
<BR>marco<BR><BR><BR>

je vais peut-être dire une bêtise, mais je ne vois vraiment pas le rapport qu'il peut y avoir entre connexité et mesure. J'ai envie de dire que dans la construction de la mesure de Lebesgue, les notions topologiques qui interviennent sont la compacité et le fait d'être ouvert ou fermé, je ne vois pas trop comment caractériser dans le cas général la mesure d'un connexe.

Mais bon je dis sûrement une connerie vu que je ne maîtrise pas vraiment le sujet.