Espace séparable

Bonjour,

Je suis un peu (complètement !) rouillée en topologie et j'ai besoin de m'y remettre pour regarder un peu mieux les propriétés de certains espaces fonctionnels. J'ai une question (presque sûrement bête) à vous poser.

Voilà :
On définit $D(\R)$, l'espace des fonctions càdlàg (=cont. à droite et ayant une limite à gauche) en chaque "point" de $\overline{\R}$. Ces fonctions sont bornées, on munit alors cet espace de la norme infinie.

Il n'est pas séparable.

Dans mon fascicule, j'ai :
"il est aisé de noter que $\|f_x -f_y\|_{\infty} = 1$ si $x\neq y$" ($f_x$ est définie de la façon suivante : $f_x (y) = 1(y\le x)$ (avec 1, la fonction indicatrice). Jusque là, je comprends tout.

Ensuite, il est indiqué :
"en utilisant les boules en norme uniforme de D(R) centrées aux points $f_x$ et de rayon 1, on montre que cet espace n'est pas séparable"

Bon, donc, je dois considérer (si j'ai compris) l'ensemble
$E=\{ B(f_x , 1) ; x \in \R \}$. Avec ce qu'on a montré, si on choisit $x$ élement de $\R$, chaque $y$ réel distinct de $x$ a sa fonction $f_y$ sur la frontière de la boule centrée en $f_x$. Cet ensemble E (non dénombrable) est inclus dans $D(\R)$. Donc on a un sous ensemble non dénombrable de D(R).

Mais en quoi ça prouve que D(R) ne contient pas de suite dénombrable dense (qui est la définition de la séparabilité sauf erreur de ma part) ?

Ca doit être tout bête, mais pour le moment, j'vois pas.....

Merci par avance !
Crou!