Boule unité et homéomorphisme

françoisjean
françoisjean
dans Topologie
Bonjour
Je dois démontrer que la boule unité de $\R^n$ est homéomorphe à $\R^n$.
Je dois donc montrer qu'il existe un homéomorphisme de $\R^n$ dans $\R^n$.

Alors c'est moins le résultat de la preuve que les idées de la preuve que je souhaite comprendre.
Comment démarrer ? Quelles questions se poser pour avoir une idée du chemin à prendre ?
Merci d'avance !

Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    C'est une très bonne démarche de te demander ça !

    Dans les cas où tu ne sais pas trop quoi faire, il est bon de regarder les petits cas : ils sont souvent plus simples et surtout visualisables. Ici tu peux regarderà quoi ressemblent $n=1,2,3$ et ça devrait déjà te faire avancer.

    De manière générale "pourquoi c'est vrai quand $n$ est petit ?" est une bonne question de départ
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Peut-être étudier d'abord le cas n=1. Je suppose que tu parlais de la boule ouverte (*), et donc tu as à trouver une bijection continue de ]-1,1[ dans $\mathbb R$. Ou de $\mathbb R$ dans ]-1,1[. Une fonction simple vue en L1 convient.

    Attention à ce que tu écris : "Je dois donc montrer qu'il existe un homéomorphisme de $\mathbb R^n$ dans $\mathbb R^n$" ?? Pas du tout !! Et d'ailleurs il y a un "homéomorphisme de $\mathbb R^n$ dans $\mathbb R^n$" évident : $x\mapsto x$.

    Cordialement.

    (*) souvent, quand on parle de la boule unité, c'est en fait la boule fermée qu'on considère.
  • françoisjean
    françoisjean
    Bonjour Gérard : effectivement. J'ai oublié de modifier mon message !
    Merci pour l'idée en tout cas.

    Merci Maxtimax.

    Je suis vos conseils et reviens poster sous peu.
  • françoisjean
    françoisjean
    Bon, effectivement, pour le cas $n=1$, c'est simple.
    Je pense qu'on peut également le voir en montrant que tout intervalle de $\R$ est homéomorphe à $\R$.

    Pour le cas $n=2$, toutes les normes sur $\R^2$ étant équivalentes, je peux donc choisir la norme qui m'arrange.
    Avec la norme 2, il faut donc trouver une bijection continue, de réciproque continue, de $\R^2$ dans $\{(x,y)\in \R^2\mid x^2+y^2<1\}$, ou inversement.

    Je pense donc à une application qui envoie mon élément de $\R^2$ dans la boule ouverte unité.
    Pourquoi pas : $f(u)=\frac{u}{1+||u||}$, avec $u\in \R^2$.
    Reste à montrer que $f$ est bijective, continue, et de réciproque continue.

    Suis-je sur la bonne voie ?
    Merci.
  • gerard0
    gerard0
    Ben ... si tu continues, tu verras bien ... Fais ce que tu dis !
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