Problème de cardinalité

Bonsoir à tous,

J'ai un doute sur un truc en topologie, relativement à la cardinalité.

Ok pour tout x irrationnel de [0,1], je peux considérer une boule ouverte de centre x et de rayon epsilon>0 (me demandez pas combien vaut mon epsilon! il n'est pas à vendre). J'en ai donc (des boules ouvertes différentes) un nombre strictement plus grand que dénombrable, soit disons puissance du continue.

Par densité des rationnels partout partout, je peux trouver un rationnel dans chaque boule ouverte: donc j'ai un nombre dénombrable de boules ? ...

Ou bien, forcément, mes rationnels ne sont pas 2 à 2 différents, ce qui signifie que je suis obligé de prendre une infinité de fois le même rationnel pour une infinité de x irrationnel ? ... Je pense que c'est ça le truc, mais si vous avez une confirmation et explication complémentaire, je suis intéressé.
Merci & passez une bonne soirée