Continue sur les compacts implique continue ?
Bonjour à tous
Je me demande si ma preuve pour un exercice de topologie est correcte (elle me paraît bien rapide).
"Une application est continue ssi sa restriction à tout compact est continue".
En raisonnant par contraposée : si $f$ n'est pas continue en $x_0$, il existe une suite $(x_n)$ qui tend vers $x_0$ mais $f(x_n)$ ne tend pas vers $f(x_0)$. L'ensemble $K = \{ x_n \mid n \in N \} \cup \{ x_0 \} $ est un compact... et le résultat tombe immédiatement car $x_n \to x_0$ mais $f\vert_K (x_n) \nrightarrow f\vert_K (x_0)$.
Je me demande si ma preuve pour un exercice de topologie est correcte (elle me paraît bien rapide).
"Une application est continue ssi sa restriction à tout compact est continue".
En raisonnant par contraposée : si $f$ n'est pas continue en $x_0$, il existe une suite $(x_n)$ qui tend vers $x_0$ mais $f(x_n)$ ne tend pas vers $f(x_0)$. L'ensemble $K = \{ x_n \mid n \in N \} \cup \{ x_0 \} $ est un compact... et le résultat tombe immédiatement car $x_n \to x_0$ mais $f\vert_K (x_n) \nrightarrow f\vert_K (x_0)$.
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Réponses
f continue en $a$
équivaut à
pour toute suite $u$ qui converge vers $a$, la suite $f\circ u$ converge vers $f(a)$?