Continue sur les compacts implique continue ?

matmat123
matmat123
dans Topologie
Bonjour à tous
Je me demande si ma preuve pour un exercice de topologie est correcte (elle me paraît bien rapide).

"Une application est continue ssi sa restriction à tout compact est continue".

En raisonnant par contraposée : si $f$ n'est pas continue en $x_0$, il existe une suite $(x_n)$ qui tend vers $x_0$ mais $f(x_n)$ ne tend pas vers $f(x_0)$. L'ensemble $K = \{ x_n \mid n \in N \} \cup \{ x_0 \} $ est un compact... et le résultat tombe immédiatement car $x_n \to x_0$ mais $f\vert_K (x_n) \nrightarrow f\vert_K (x_0)$.

Réponses

  • christophe c
    christophe c
    Tu penses que

    f continue en $a$

    équivaut à

    pour toute suite $u$ qui converge vers $a$, la suite $f\circ u$ converge vers $f(a)$?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • matmat123
    matmat123
    Ma foi il me semblait que c'était la caractérisation séquentielle de la continuité ?
  • christophe c
    christophe c
    Ça marche quand tu supposes l'espace métrique.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • matmat123
    matmat123
    Bien sûr, j'ai omis de le préciser. Tout se fait dans des espaces métriques.
  • Grenouille factorielle
    Grenouille factorielle
    C'est bon, mais ta contraposée sert pas à grand chose, tes arguments ne l'utilisent pas vraiment.
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