Sous-groupe de R avec un point isolé

Bonjour à tous
Voilà mon problème : je dois montrer l'implication suivante, sachant que (G, +) est un sous-groupe de (R,+) qui n'est pas réduit à {0}.

G admet un point isolé => il existe un epsilon tel que pour tout g dans G, l'intersection de la boule centrée en g de rayon epsilon avec G soit le singleton g

En gros, si G admet un point isolé, tous les points de g sont sont isolés.

J'ai vu beaucoup de démonstration dans le cas où le point isolé considéré est 0 mais que faire dans le cas général.

Merci en avance pour votre aide !