Compacité

Bonsoir, j'aimerais savoir si mon raisonnement tient la route concernant la deuxième question de l'exercice 25 (Mon prof en Td n'avait pas vraiment prêté attention lorsque je lui ai montré ma feuille). Voici ce que je fais.

Supposons que pour tout $\epsilon>0$, $K_{\epsilon}$ n'est pas inclus dans $\Omega$, alors il existe un $y_{\epsilon} \in K_{\epsilon}$ tel que $y_{\epsilon}$ n'est pas élément de $\Omega$ càd que pour tout $r>0$, $d(y_{\epsilon},x) \geq r$ pour tout $x \in \Omega$, on construit une suite de $K_{\epsilon}$ qui diverge, donc pour tout $A>0$, il existe $n_{0}$ tel que pour tout $n>n_{0}$, $d(y_{n},x) \geq A$ pour tout $x \in \Omega$.
Ce qui est absurde vu l'hypothèse sur $K_{\epsilon}$.
Merci d'avance.