Boule ouverte
Bonjour, j'ai la distance $d(x,y)=\big\lvert\frac{1}{\ln(x)}-\frac{1}{\ln(y)}\big\rvert$, sur $]0,+\infty[$, je cherche à déterminer $B(x_0,r)$.
$B(x_0,r) =\{y>0\mid \frac{1}{\ln(x_0)}-r<\frac{1}{\ln(y)}<\frac{1}{\ln(x_0)}+r\}$
Comment faire si $\frac{1}{\ln(x_0)}+r<0$ s'il vous plaît ?
Merci.
$B(x_0,r) =\{y>0\mid \frac{1}{\ln(x_0)}-r<\frac{1}{\ln(y)}<\frac{1}{\ln(x_0)}+r\}$
Comment faire si $\frac{1}{\ln(x_0)}+r<0$ s'il vous plaît ?
Merci.
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Réponses
Cordialement.
Si c’est négatif, alors le logarithme est négatif et son argument strictement plus petit que l’unité.
Dans la définition de cette distance, tu autorises le dénominateur nul. Je trouve ça surprenant. Es-tu sûre de vouloir diviser par zéro ?
l'énoncé doit être "sur $]1,+\infty[$" (et je n'ai pas vérifié que c'est une distance).
Cordialement.
J'aimerais savoir quels sont les cas à étudier
1) $\frac{1}{\ln(x_0)}+r<0$ dans ce cas $\frac{1}{\ln(x_0)}-r<0$, alors la boule est l'ensemble vide car $y>1$ donc $\ln(y)>0$ c'est ça ?
2) $\frac{1}{\ln(x_0)}+r=0$ aussi la boule est vide.
3) $\frac{1}{\ln(x_0)}+r>0$ et $\frac{1}{\ln(x_0)}-r<0$.
4) $\frac{1}{\ln(x_0)}+r>0$ et $\frac{1}{\ln(x_0)}-r>0$.
Est-ce que ce sont les seuls cas à étudier ?
Merci.
Une boule n'est jamais vide. Elle contient toujours son centre.
La condition qui porte sur $y$ ne concerne pas les bornes de l'intervalle. Il ne sert à rien de séparer tous ces cas. Et comme par nature, $r$ et $\frac 1 {\ln x}$ sont positifs, ton premier cas est absurde !
Je reprends ton premier message, avec le nouvel énoncé :
$B(x_0,r) =\{y>1\mid \frac{1}{\ln(x_0)}-r<\frac{1}{\ln(y)}<\frac{1}{\ln(x_0)}+r\}$ avec $x_0>1$ et $r>0$ (*)
Il ne reste que le cas où $\frac{1}{\ln(x_0)}-r \le 0$ où on va tronquer l'intervalle à 1. Puisqu'on est dans $]1,+\infty[$.
Bon travail !
(*) le cas $r=0$ est connu !
si $\frac{1}{\ln(x_0)}-r\leq 0$ alors $B(x_0,r)=]\exp(\frac{1}{\frac{1}{\ln(x_0}+r}),+\infty[\cap ]1,+\infty[$
si $\frac{1}{\ln(x_0)}-r>0$ alors $B(x_0,r)=]\exp(\frac{1}{\frac{1}{\ln(x_0}+r}),\exp(\frac{1}{\frac{1}{\ln(x_0}-r})[\cap ]1,+\infty[$
c'est ça ?