Boule ouverte
Bonjour, j'ai la distance $d(x,y)=\big\lvert\frac{1}{\ln(x)}-\frac{1}{\ln(y)}\big\rvert$, sur $]0,+\infty[$, je cherche à déterminer $B(x_0,r)$.
$B(x_0,r) =\{y>0\mid \frac{1}{\ln(x_0)}-r<\frac{1}{\ln(y)}<\frac{1}{\ln(x_0)}+r\}$
Comment faire si $\frac{1}{\ln(x_0)}+r<0$ s'il vous plaît ?
Merci.
$B(x_0,r) =\{y>0\mid \frac{1}{\ln(x_0)}-r<\frac{1}{\ln(y)}<\frac{1}{\ln(x_0)}+r\}$
Comment faire si $\frac{1}{\ln(x_0)}+r<0$ s'il vous plaît ?
Merci.
Réponses
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Sinon, pour ta question, comment définis-tu B(1,2) sur $]0,+\infty[$ avec la distance usuelle ? Si tu ne vois pas, reviens à la signification.
Cordialement. -
$B(1,2)=\{y>0, |y-1|<2\}=\{y>0\mid -2<y-1<2\}=\{y>0\mid -1<y<3\}=\,]0,+\infty[\,\cap\, ]{-}1,3[\,=\,]0,3[$
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Bonjour,
Si c’est négatif, alors le logarithme est négatif et son argument strictement plus petit que l’unité.
Dans la définition de cette distance, tu autorises le dénominateur nul. Je trouve ça surprenant. Es-tu sûre de vouloir diviser par zéro ? -
Effectivement,
l'énoncé doit être "sur $]1,+\infty[$" (et je n'ai pas vérifié que c'est une distance).
Cordialement. -
Je pense qu'il y a une erreur dans l'énoncé. L'espace devrait être $]1,+\infty[$.
J'aimerais savoir quels sont les cas à étudier
1) $\frac{1}{\ln(x_0)}+r<0$ dans ce cas $\frac{1}{\ln(x_0)}-r<0$, alors la boule est l'ensemble vide car $y>1$ donc $\ln(y)>0$ c'est ça ?
2) $\frac{1}{\ln(x_0)}+r=0$ aussi la boule est vide.
3) $\frac{1}{\ln(x_0)}+r>0$ et $\frac{1}{\ln(x_0)}-r<0$.
4) $\frac{1}{\ln(x_0)}+r>0$ et $\frac{1}{\ln(x_0)}-r>0$.
Est-ce que ce sont les seuls cas à étudier ?
Merci. -
Vu l'énoncé, il est envisageable que $B(x_0,r)$ soit l'ensemble vide... Effectivement c'est un peu abusif de parler de boule dans ce cas.
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Suivant "la deuxième version" de l'énoncé, $d(x,y)=\big\lvert\frac{1}{\ln(x)}-\frac{1}{\ln(y)}\big\rvert$ est bien une distance sur $]1,+\infty[$ et vu la tête de la fonction $x\mapsto 1/\ln(x)$, les boules sont des intervalles. Après si on veut s'amuser à calculer les extrémités... il faut calculer.
-
Nora-math,
La condition qui porte sur $y$ ne concerne pas les bornes de l'intervalle. Il ne sert à rien de séparer tous ces cas. Et comme par nature, $r$ et $\frac 1 {\ln x}$ sont positifs, ton premier cas est absurde !
Je reprends ton premier message, avec le nouvel énoncé :
$B(x_0,r) =\{y>1\mid \frac{1}{\ln(x_0)}-r<\frac{1}{\ln(y)}<\frac{1}{\ln(x_0)}+r\}$ avec $x_0>1$ et $r>0$ (*)
Il ne reste que le cas où $\frac{1}{\ln(x_0)}-r \le 0$ où on va tronquer l'intervalle à 1. Puisqu'on est dans $]1,+\infty[$.
Bon travail !
(*) le cas $r=0$ est connu ! -
Oui vous avez raison puisque $x_0>1$ donc $\ln(x_0)>0$
si $\frac{1}{\ln(x_0)}-r\leq 0$ alors $B(x_0,r)=]\exp(\frac{1}{\frac{1}{\ln(x_0}+r}),+\infty[\cap ]1,+\infty[$
si $\frac{1}{\ln(x_0)}-r>0$ alors $B(x_0,r)=]\exp(\frac{1}{\frac{1}{\ln(x_0}+r}),\exp(\frac{1}{\frac{1}{\ln(x_0}-r})[\cap ]1,+\infty[$
c'est ça ?
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