Sur les distances

Pour la fin du 3) il reste à voir si $d_1$ est topologiquement équivalente à $d_{\text{disc}}$ et donc à $d_H$.

Or pour la distance $d_{\text{disc}}$ toute partie de $\R^n$ est ouverte, mais pour $d_1$ ce n'est pas le cas. Tu devrais trouver facilement un sous-ensemble qui n'est pas ouvert pour $d_1$. Ceci montrerait que ces deux distances ne sont pas topologiquement équivalentes (elles ne définissent pas la même topologie).

Pour la 4 tu peux remarquer qu'il y a une ressemblance assez marquée entre $d_H$ et $d_1$... ceci permettra de répondre à la première question sur l'équivalence.

Pour l'équivalence topologique on sait déjà que $d_H$ et $d_{\text{disc}}$ engendrent la même topologie qui est la topologie discrète (tout est ouvert quoi). Est-ce que $d_1$ engendre aussi cette topologie sur $C$ ?

Pour la 4 tu peux remarquer facilement que sur $C$ les distances $d_1$ et $d_H$ sont les mêmes donc équivalentes à fortiori. Ceci et ce que tu as écris avant permet de répondre entièrement à la 4.

Oui c'est ça. Après il n'y a plus besoin de démontrer que les distances $D_H$ et $D_{dis}$ sont équivalentes car tu l'as déjà fait à la question 3. Si elles sont équivalentes sur $\R^n$ alors elles le sont à fortiori sur un sous-ensembles de $\R^n$.