Pour la fin du 3) il reste à voir si $d_1$ est topologiquement équivalente à $d_{\text{disc}}$ et donc à $d_H$.
Or pour la distance $d_{\text{disc}}$ toute partie de $\R^n$ est ouverte, mais pour $d_1$ ce n'est pas le cas. Tu devrais trouver facilement un sous-ensemble qui n'est pas ouvert pour $d_1$. Ceci montrerait que ces deux distances ne sont pas topologiquement équivalentes (elles ne définissent pas la même topologie).
Pour la 4 tu peux remarquer qu'il y a une ressemblance assez marquée entre $d_H$ et $d_1$... ceci permettra de répondre à la première question sur l'équivalence.
Pour l'équivalence topologique on sait déjà que $d_H$ et $d_{\text{disc}}$ engendrent la même topologie qui est la topologie discrète (tout est ouvert quoi). Est-ce que $d_1$ engendre aussi cette topologie sur $C$ ?
Bonsoir, désolé pour le retard et merci pour ta réponse. En effet on sait que tout singleton d'un espace métrique est un fermé. Ainsi, je peux conclure la question 3. Je vais réfléchir pour la question 4 au grand tard ce soir et revenir.
Pour la 4 tu peux remarquer facilement que sur $C$ les distances $d_1$ et $d_H$ sont les mêmes donc équivalentes à fortiori. Ceci et ce que tu as écris avant permet de répondre entièrement à la 4.
Pour la question 4, voici ce que je trouve finalement.
Soient $x,y \in C$.
$D_{1}(x,y)=0$ ssi $\lvert x_{i}-y_{i} \rvert =0$ pour tout $i$ ssi $x=y$ donc $D_{H}(x,y)=0$
$D_{1}(x,y)>0$ ssi il existe $x_{i}=1; y_{i}=0$ ou $x_{i}=0 ; y_{i}=1$ alors $D_{1}(x,y)=\sum_{x_{i} \neq y_{i}}(\lvert x_{i}-y_{i} \rvert)=m=D_{H}(x,y)$.
Alors dans tous les cas, $D_{1}=D_{H}$.
Oui c'est ça. Après il n'y a plus besoin de démontrer que les distances $D_H$ et $D_{dis}$ sont équivalentes car tu l'as déjà fait à la question 3. Si elles sont équivalentes sur $\R^n$ alors elles le sont à fortiori sur un sous-ensembles de $\R^n$.
Réponses
Or pour la distance $d_{\text{disc}}$ toute partie de $\R^n$ est ouverte, mais pour $d_1$ ce n'est pas le cas. Tu devrais trouver facilement un sous-ensemble qui n'est pas ouvert pour $d_1$. Ceci montrerait que ces deux distances ne sont pas topologiquement équivalentes (elles ne définissent pas la même topologie).
Pour la 4 tu peux remarquer qu'il y a une ressemblance assez marquée entre $d_H$ et $d_1$... ceci permettra de répondre à la première question sur l'équivalence.
Pour l'équivalence topologique on sait déjà que $d_H$ et $d_{\text{disc}}$ engendrent la même topologie qui est la topologie discrète (tout est ouvert quoi). Est-ce que $d_1$ engendre aussi cette topologie sur $C$ ?
Soient $x,y \in C$.
$D_{1}(x,y)=0$ ssi $\lvert x_{i}-y_{i} \rvert =0$ pour tout $i$ ssi $x=y$ donc $D_{H}(x,y)=0$
$D_{1}(x,y)>0$ ssi il existe $x_{i}=1; y_{i}=0$ ou $x_{i}=0 ; y_{i}=1$ alors $D_{1}(x,y)=\sum_{x_{i} \neq y_{i}}(\lvert x_{i}-y_{i} \rvert)=m=D_{H}(x,y)$.
Alors dans tous les cas, $D_{1}=D_{H}$.