Je n'ai jamais vu cette caractérisation... Si le résultat est trop difficile je veux bien l'admettre mais sinon je veux bien de l'aide pour une preuve élémentaire.
D'après quelques recherches on dirait que ce que vous appelez la caractérisation de Borel des compacts est simplement ma définition de compact, j'essaie donc:
Soit $U_i, i\in I$ des ouverts de $X$ tel que $F\cap K=\bigcup_{i\in I}(U_i\cap(F\cap K))$ (un recouvrement d'ouverts pour la topologie induite). Quel sous-recouvrement prendre? En outre, les $U_i$ ne couvrent certainement pas $K$ donc on ne peut pas utiliser l'hypothèse que $K$ est compact...
@Code_Name ajoute $K\setminus F$ à ton recouvrement d'ouverts afin de recouvrir $K$...
Ceci-dit il y a une autre caractérisation des compacts à connaitre absolument qui permet de résoudre le problème en une ligne : $X$ est compact ssi pour toute famille de fermés $(F_i)_I$ telle que $\displaystyle \bigcap_{i\in I} F_i=\emptyset$, il existe $J\subset I$ fini tel que $\displaystyle \bigcap_{i\in J} F_i=\emptyset$. (Ça se démontre simplement à partir de la caractérisation de Borel en prenant les complémentaires des ouverts.)
Avec cette caractérisation ton problème devient quasiment trivial.
Grenouille factorielle désolé j'ai l'habitude de lire le fil entier (plus ou moins) avant de répondre mais là j'ai zappé, donc même si tu avais écrit en majuscules je ne l'aurais pas lu :-D
Après ça m'est arrivé aussi de ne pas être lu, c'est une chose assez courante sur un forum. Mais oui, désolé.
Réponses
Soit $U_i, i\in I$ des ouverts de $X$ tel que $F\cap K=\bigcup_{i\in I}(U_i\cap(F\cap K))$ (un recouvrement d'ouverts pour la topologie induite). Quel sous-recouvrement prendre? En outre, les $U_i$ ne couvrent certainement pas $K$ donc on ne peut pas utiliser l'hypothèse que $K$ est compact...
Ceci-dit il y a une autre caractérisation des compacts à connaitre absolument qui permet de résoudre le problème en une ligne : $X$ est compact ssi pour toute famille de fermés $(F_i)_I$ telle que $\displaystyle \bigcap_{i\in I} F_i=\emptyset$, il existe $J\subset I$ fini tel que $\displaystyle \bigcap_{i\in J} F_i=\emptyset$. (Ça se démontre simplement à partir de la caractérisation de Borel en prenant les complémentaires des ouverts.)
Avec cette caractérisation ton problème devient quasiment trivial.
Après ça m'est arrivé aussi de ne pas être lu, c'est une chose assez courante sur un forum. Mais oui, désolé.