Espace topologique

don_juanes2 · September 2021

Bonjour
Mon professeur de la topologie a annoncé une proposition en cours (sans la démonter), j'ai essayé de la prouver mais je ne sais franchement rien de quoi il faut profiter [pas ce qu'il faut utiliser.] La proposition est la suivante.

Soit X un espace topologique séparé, Y une partie compacte de X, alors Y est fermée dans X.

J'ai essayé de profiter de la compacité de Y : séparation et propriété de Borel (elle ne donne rien...).
Puis je ne vois pas trop à quoi sert la séparation de l'espace X, dans mon brouillon je ne vois pas trop ou il faut l'introduire...
S'il vous plaît quelqu'un pourrait me donner une démarche pour prouver cette proposition ?
Et que peut-on dire en fait sur le quotient X/Y (si on suppose juste que Y est fermé) ?

Blueberry · September 2021

Utilise la séparation de l'espace.
Soit $x$ pas dans le compact. Pour chaque $y$ dans le compact il existe $U_y$ voisinage ouvert de $y$ et $V_y$ voisinage ouvert de $x$, disjoints. Fait ça pour tous les $y$ du compact et vois ce que tu peux faire de ces $U_y$ ....

Frédéric Bosio · September 2021

D'abord, la séparation de l'espace est indispensable. Sinon, par exemple, un singleton (un point tout seul) est toujours compact, mais pas toujours fermé si l'espace n'est pas séparé.

Maintenant, si tu supposes ton espace séparé et que tu prends $a$ un point adhérent à $Y$ hors de $Y$, tu peux considérer les traces sur $Y$ des complémentaires des voisinages fermés de $A$.

Espace topologique

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 21