Topologie la plus fine pour continuité

Code_Name · September 2021

Bonjour, soit $p:X\to Q$ une application entre deux espaces topologiques où la topologie sur $Q$ est la topologie la plus fine rendant $p$ continue.

Soit $V\subset Q$ tel que $p^{-1}(V)$ est ouvert dans $X$. Alors pourquoi a-t-on que $V$ est un ouvert de $Q$? Je ne vois pas ceci découler de la définition de la topologie de $Q$ étant la topologie la plus fine rendant $p$ continue... Merci pour votre aide.

raoul.S · September 2021

Parce que la topologie la plus fine est celle qui vérifie : $V$ est un ouvert de $Q$ ssi $p^{-1}(V)$ est un ouvert de $X$.

Code_Name · September 2021

Oui je m'en doute bien mais comment prouver le sens vers la gauche? Peut-on raisonner ainsi: Soit $\mathcal T$ une topologie sur $Q$ rendant $p$ continue. On la complète en rajoutant $V$ (avec toutes les intersections et unions possibles...). Vu que $p^{-1}(V)$ est ouvert dans $X$, cette topologie complétée rend encore $p$ continue. Donc cette topologie est contenue dans la topologie la plus fine de définition de $Q$ donc $V$ est dedans.

Est-ce que c'est juste? Je pense qu'il y a mieux...

raoul.S · September 2021

Plus simple :

tu définis $\mathcal T_{max}$ comme ça : soit $O\subset Q$ alors $O\in \mathcal T_{max}$ ssi $p^{-1}(O)$ est un ouvert de $X$.

1) Vérifie que $\mathcal T_{max}$ est bien une topologie.

2) Vérifie que $\mathcal T_{max}$ est la topologie la plus fine rendant $p$ continue.

Code_Name · September 2021

Merci :-)

Topologie la plus fine pour continuité

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