Existence des mesures de Haar par H. Cartan

Cartan utilise implicitement l'axiome du choix dénombrable dépendant je pense, puisqu'on a du lemme d'Urysohn un peu partout.

Je trouve quand même la preuve de Cartan assez simple (modulo le lemme que je n'arrive pas à montrer) et plus intuitive que celle avec le théorème de Tychonoff. On dit d'abord que $I_\phi$ est presque additive et avec le théorème d'approximation, on montre que $(I_\phi(f))_{\phi}$ est de Cauchy quand le support de $\phi$ se resserre autour de l'unité, donc par complétude la limite existe et on obtient à la fin une forme linéaire positive avec toutes les bonnes propriétés.

Bon je pense tenir quelque chose. (:D

On choisit $V$ un voisinage compact de l'unité qui contient les supports des $f_i$. On choisit une fonction $g \in \mathcal C$ qui vaut $1$ sur $V$.
On considère le compact $K = V\cdot V$.

Soit $\delta > 0$.

Vues comme familles de $C(K)$, les
$$ \mathcal H_i = \{ h_{i,\lambda} : \lambda \in [0,\Lambda]^n\} $$ sont compactes (ce sont des images continues du compact $[0,\Lambda]^n$) donc par Arzelà-Ascoli (le sens direct, qui ne nécessite aucunement l'axiome du choix par ailleurs, pas même DC) les $\mathcal H_i$ sont équicontinues. Comme $K$ est compact, on a même de l'équicontinuité uniforme pour la structure uniforme à gauche par exemple.

Ainsi il existe un voisinage de l'unité $U$ symétrique, contenu dans $V$ tel que
$$ \forall i, \forall \lambda \in [0,\Lambda]^n ~,~ \forall x,y\in K~,~ y^{-1}x \in U \Longrightarrow |h_{i,\lambda}(x)-h_{i,\lambda}(y)| \le \delta$$

Maintenant, je fixe $\phi \in \mathcal F_U$ et $0\le \lambda_1,\ldots,\lambda_n \le \Lambda$. Supposons que $c_1,\ldots,c_m \ge 0$ et $s_1,\ldots,s_m \in G$ soient tels que
$$ \forall x\in G ~,~ f(x) := \delta g + \sum_i \lambda_i f_i(x) \le \sum_j c_j \phi(s_j^{-1}x) $$ Étant donné $x$ dans le support de $f_i$ on a
$$ \lambda_i f_i(x) = h_{i,\lambda}(x) f(x) \le \sum_j c_j \phi(s_j^{-1}x) h_{i,\lambda}(x) $$ Si $s_j^{-1}x \in U$, alors par symétrie de $U$ on a $s_j \in xU \subset K$ car $U, \operatorname{supp}f_i \subset V$ et $V \cdot V = K$ d'où $$ \phi(s_j^{-1}x)h_{i,\lambda}(x) \le \phi(s_j^{-1}x)(h_{i,\lambda}(s_j) + \delta) $$ L'inégalité reste vraie si $s_j^{-1}x\not \in U$ car $\operatorname{supp} \phi \subset U$. On en déduit alors que
$$ \forall x\in G ~,~ \lambda_i f_i(x) \le \sum_j c_j (h_{i,\lambda}(s_j) + \delta) \phi(s_j^{-1}x) $$
Donc par définition des nombres de Haar
$$ \lambda_i (f_i : \phi) \le \sum_j c_j (h_{i,\lambda}(s_j) + \delta) $$
Puis en sommant selon $i$
$$ \sum_i \lambda_i (f_i : \phi) \le (1 + n\delta) \sum_j c_j $$
car par construction $\sum_i h_{i,\lambda} = \frac{\sum_i \lambda_i f_i}{\lambda g + \sum_j \lambda_j f_j} 1_{V} \le 1$. Par suite
$$ \sum_i \lambda_i (f_i : \phi) \le (1+n\delta)(f : \phi) \le (1+n\delta)\Big( \sum_i \lambda_i f_i : \phi\Big) + (1+n\delta)\delta (g : \phi) $$ En divisant par $(f_0 : \phi)$
$$ \begin{split} \sum_i \lambda_i I_\phi(f_i) &\le I_\phi\Big( \sum_i \lambda_i f_i \Big) + n\Lambda\delta I_\phi(f_1 + \cdots + f_n) + \delta(1+n\delta) I_\phi(g ) \\
&\le I_\phi\Big( \sum_i \lambda_i f_i \Big) + n\Lambda\delta (f_1 + \cdots + f_n : f_0) + \delta(1+n\delta) (g : f_0 )
\end{split}$$

Ainsi en choisissant un $\delta$ assez petit pour que
$$ n\Lambda\delta (f_1 + \cdots + f_n : f_0) + \delta(1+n\delta) (g : f_0 ) < \varepsilon $$ ça prouve le lemme si je n'ai pas fait d'érreur. :-)

Corrigez-moi si je me trompe !