Soit $(x^{(k)})_k$ une suite d'éléments de l'image de $f_p$, convergente vers $x \in X$.
Par définition de la topologie produit, dire que $(x^{(k)})_k$ converge veut dire qu'il y a convergence coordonnée par coordonnée. En particulier, la suite $(x^{(k)}_p)_{k \in \mathbb N}$ converge dans $X_p$, appelons $x_p$ sa limite. Il est alors clair que pour tout $n \in \mathbb N$, $$x_n = \left\{\begin{matrix} a_n \text{ si } n \neq p\\ x_p \text{ si } n=p.\end{matrix}\right.$$ Ainsi, $x = f_p(x_p)$ et donc l'image de $f_p$ est fermée.
Bonjour Poirot
Je viens de commencer à réfléchir à ton message.
Pourrais-tu même si cela est évident pour toi me donner une explication détaillée de ce qui suit. En te remerciant.
Pour tout $k$ et $n \neq p$, on a $x_n^{(k)}=a_n$ donc oui il est évident que $x_n$, défini par $\lim_{k \to +\infty} x_n^{(k)}$ est $a_n$, et il est encore plus évident que $x_n=x_p$ quand $n=p$ !
Bonjour Poirot
J'ai identifié la raison de mon blocage. Je m'évertuais à suivre ton raisonnement sans comprendre les notations auxquelles je n'étais pas habitué ne connaissant que (xn)n dans N.
Aussi j'aimerais que tu puisses m'expliciter les notations suivantes que je n'avais jamais rencontrées auparavant. En te remerciant.
Pour chaque $k$, $x^{(k)}$ est une suite et pour chaque $p$, $x^{(k)}_p$ est le $p$-ième terme de la suite $x^{(k)}$ ; autrement dit, $x^{(k)}=\bigl(x^{(k)}_p\bigr)_{p\in\N}$ ; ensuite, $x_k$ est la limite de $x^{(k)}$.
J'ajouterai simplement au début du message de Math Coss que $(x^{(k)})_{k \in \mathbb N}$ est une suite d'éléments de $X = \prod_{n \in \mathbb N} X_n$, ce qui explique la suite.
La distance sur l'espace produit est $\displaystyle D(x,y)=\sum_{n=0}^{+ \infty} \frac {d_n(x_n,y_n)}{2^n}$
Pas besoin de $D1$ puisqu'il n'y a pas d'autre $D_{machin}$, soit dit pour imiter la remarque de HT dans un autre fil.
Mais qui dit que cette série est convergente ?
Je présume qu'il faut remplacer chaque distance $d_n(..,...)$ par une distance bornée uniformément équivalente, ce qui est toujours possible en prenant $\frac d{1+d}$ ou $\min(1,d)$.
D'accord ?
Fr. Ch.
Il faut que tous les $X_n$ soient non vides, ce que l'énoncé ne précise pas.
Si l'un des $X_n$ est vide, leur produit l'est aussi.
$\emptyset$ est muni d'une unique distance (l'unique application $\emptyset \times \emptyset \to \R$ en est une - sinon il existe des points dans $\emptyset$ tels que ... sauf que non). Cette distance est complète (sinon il existe une suite dans $\emptyset$, i.e. un élément $\emptyset^{\N}=\emptyset$ tel que ... sauf que non).
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Réponses
Par définition de la topologie produit, dire que $(x^{(k)})_k$ converge veut dire qu'il y a convergence coordonnée par coordonnée. En particulier, la suite $(x^{(k)}_p)_{k \in \mathbb N}$ converge dans $X_p$, appelons $x_p$ sa limite. Il est alors clair que pour tout $n \in \mathbb N$, $$x_n = \left\{\begin{matrix} a_n \text{ si } n \neq p\\ x_p \text{ si } n=p.\end{matrix}\right.$$ Ainsi, $x = f_p(x_p)$ et donc l'image de $f_p$ est fermée.
Je te remercie Poirot
Je viens de commencer à réfléchir à ton message.
Pourrais-tu même si cela est évident pour toi me donner une explication détaillée de ce qui suit. En te remerciant.
J'ai identifié la raison de mon blocage. Je m'évertuais à suivre ton raisonnement sans comprendre les notations auxquelles je n'étais pas habitué ne connaissant que (xn)n dans N.
Aussi j'aimerais que tu puisses m'expliciter les notations suivantes que je n'avais jamais rencontrées auparavant. En te remerciant.
Pas besoin de $D1$ puisqu'il n'y a pas d'autre $D_{machin}$, soit dit pour imiter la remarque de HT dans un autre fil.
Mais qui dit que cette série est convergente ?
Je présume qu'il faut remplacer chaque distance $d_n(..,...)$ par une distance bornée uniformément équivalente, ce qui est toujours possible en prenant $\frac d{1+d}$ ou $\min(1,d)$.
D'accord ?
Fr. Ch.
D'abord avec l'explicitation de la notation utilisée par Poirot, j'ai bien compris son raisonnement.
Je fais suite à ta remarque mais dans le cours de topologie cette convergence a été établie et ne m'a donc posé aucun problème.
En effet c'est par le biais des distances bornées uniformément équivalentes que l'on y arrive.
J'aime beaucoup le raisonnement de Poirot mais je n'y ai pas pensé car encore très inexpérimenté.
Bonne journée
$\emptyset$ est muni d'une unique distance (l'unique application $\emptyset \times \emptyset \to \R$ en est une - sinon il existe des points dans $\emptyset$ tels que ... sauf que non). Cette distance est complète (sinon il existe une suite dans $\emptyset$, i.e. un élément $\emptyset^{\N}=\emptyset$ tel que ... sauf que non).