Partie fermée de $\mathbb{R}$
Bonsoir, j'aimerais savoir si mon raisonnement est juste et avoir une indication pour l'exercice suivant.
Exo $16$.
Soit $Y$ une partie fermée bornée non vide de $\mathbb{R}$.
Comme $Y$ est bornée, alors, il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $y$ élément de $Y$, on a $y \leq M$. De plus comme $Y$ est non-vide, de tout ce qui précède, on en déduit d'après l'axiome de la borne supérieure que $Y$ admet une borne supérieure dans $\mathbb{R}$ notée $b$.
De même, on en déduit que celle-ci admet une borne inférieure notée $a$.
Soit $(x_{n})_{n}$ une suite croissante de nombres réels qui converge vers $b$. Comme $Y$ est fermée, alors $b \in Y$ d'après la caractérisation des fermés par les suites.
De même, on montre en considérant une suite $(y_{n})_{n}$ décroissante qui converge $a \in Y$
Exo$13$
Je suis bloqué à partir de la question 3, je n'arrive pas à conclure ce que je fais via mon dessin.
Merci d'avance pour votre compréhension.
Exo $16$.
Soit $Y$ une partie fermée bornée non vide de $\mathbb{R}$.
Comme $Y$ est bornée, alors, il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $y$ élément de $Y$, on a $y \leq M$. De plus comme $Y$ est non-vide, de tout ce qui précède, on en déduit d'après l'axiome de la borne supérieure que $Y$ admet une borne supérieure dans $\mathbb{R}$ notée $b$.
De même, on en déduit que celle-ci admet une borne inférieure notée $a$.
Soit $(x_{n})_{n}$ une suite croissante de nombres réels qui converge vers $b$. Comme $Y$ est fermée, alors $b \in Y$ d'après la caractérisation des fermés par les suites.
De même, on montre en considérant une suite $(y_{n})_{n}$ décroissante qui converge $a \in Y$
Exo$13$
Je suis bloqué à partir de la question 3, je n'arrive pas à conclure ce que je fais via mon dessin.
Merci d'avance pour votre compréhension.
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Réponses
Je ne crois pas que ton carré fonctionne, comment pourrait-il être contenu dans la frontière ? Je te rappelle que la frontière est l'adhérence moins l'intérieur.
Oui je sais que Inte(A) est inclus dans A qui est lui-même inclus dans Adhe(A). Justement je n'arrivais pas à déterminer l'adhérence de mon carré en question donc bon...
Avec ton ensemble, on a $Adhe(A)=[0,1]\times \{0\}$ et $A$ est un ouvert donc $A=inte(A)$.
Je n'arrive pas à voir pourquoi $A$ est strictement inclus dans $Fr(A)$ ici.
Rappel : si $A$ est un sous-ensemble du plan (ou plus généralement un sous-ensemble d'un espace métrique) alors un point $a\in A$ est dit intérieur à $A$ s'il existe un petit disque, dont $a$ est le centre, qui est contenu dans $A$.
Tu vois bien qu'avec cette définition $inte(]0,1[\times \{0\})=\emptyset$ et donc que $]0,1[\times \{0\}$ est bien strictement contenu dans sa frontière.
Pour revenir à ton carré, l'adhérence c'est lui-même. Il faudrait que tu relises la définition de l'adhérence.
Après lecture, je crois que j'avais écrit des bêtises...
Je suppose que la distance est la distance euclidienne.
Pour montrer que l'intérieur est vide , je raisonne par l'absurde et je montre que $A$ contient les points vérifiant $(u-p)^2+(v-q)^2<r$ où $r>0$ avec $x=(u,p)$ dans inte (A). Avec un dessin, on voit que $A$ ne peut pas contenir un cercle.
Cordialement.
NB : Je me faisais justement la même réflexion, j'ai failli l'écrire, puis j'ai relu l'énoncé !! Merci d'avoir écrit ça.