Union de fermés

Bonsoir

Dans un espace métrique on considère un compact $A$, comment montrer que $ C= \bigcup_{x\in A} B'(x,r),\ r>0$ est fermé ?

Si je prends $y\in \bar{C}$ alors $\forall\varepsilon>0,\ B(y,\varepsilon)\cap C\neq \emptyset$,
donc il existe un élément $z$ tel que $d(z,y)<\varepsilon$ et $z\in C$ donc il existe $x_0\in A$ tel que $d(z,x_0)<r$.

Comment terminer svp et ou utiliser la compacité de $A$ ?