Longue droite

Pour ceux qui suivent mes autres fils : j'ai essayé de comprendre un peu comment fonctionnent les ordinaux pour comprendre la définition de la longue droite.

On la définit donc comme le produit lexicographique de $\omega_1$ par $[0~;~\infty[$. Et c'est censé être un espace analogue à $\R$, mais "beaucoup plus long". Je crois que je commence à comprendre le concept, mais j'avais l'une ou l'autre question.

$\R$ peut être défini comme une réunion d'intervalles de longueur fixée (par exemple $1$). Par exemple, on peut écrire $\R = \displaystyle \bigcup_{z \in \Z}[z~;~z+1]$.

Du coup, je comprends $\R$ comme le produit lexicographique de $[0~;~1]$ par $\Z$.

Est-ce que le produit lexicographique de $\omega_1$ par $[0~;~1]$ est un espace topologiquement "très différent" de la longue droite ? Je mets beaucoup de guillemets parce que j'ai conscience de peut-être écrire des barbarismes, mais d'un point de vue de la cardinalité, je crois bien que $[0~;~\infty[$ n'est pas particulièrement plus grand que $[0~;~1]$. Je n'ai pas encore vérifié si cet espace peut être homéomorphe à la longue droite ou non. J'essaie surtout de comprendre pourquoi on a pris $[0~;~\infty[$ pour la définir au lieu de $[0~;~1]$, s'il y a une différence.

Vu que ça utilise l'ordre sur $\omega_1$, je nage encore un peu dans le flou. Mais justement, je pense que ça peut m'en apprendre un peu plus sur $\omega_1$ de poser ce genre de question.