Distance de Hausdorff complète

Bonjour

Soit $(E,d)$ un espace métrique, $\mathcal{F}$ la famille d'ensembles fermés et bornés, on la munit de la distance de Hausdorff.
$h(A,B)=\max\Big(\max\limits_{x\in A}d(x,B),\max_{x\in B}d(x,A)\Big)$
Si on suppose que $(E,d)$ est complet on doit montrer que $(\mathcal{F},h)$ est complet.

Soit $(A_n)$ une suite de $\mathcal{F}$ de Cauchy c-a-d
\begin{align*}
\forall \varepsilon>0,\ \exists n_0\in \mathbb{N},\ \forall p,q\in\mathbb{N},\ p,q\geq n_0&\Rightarrow h(A_p,A_q)<\varepsilon\\
&\Rightarrow \begin{cases} \max\limits_{x\in A_p} d(x,A_q)<\varepsilon\\ \max\limits_{x\in A_q} d(x,A_p)<\varepsilon\end{cases}\\
&\Rightarrow \begin{cases} d(x,A_q)<\varepsilon, &\forall x\in A_p\\ d(x,A_p)<\varepsilon,&\forall x\in A_q\end{cases}\\
&\Rightarrow \begin{cases} \inf\limits_{y\in A_q}d(x,y)<\varepsilon,& \forall x\in A_p\\ \inf\limits_{z\in A_p}d(x,z)<\varepsilon,&\forall x\in A_q\end{cases}

\end{align*} Peut ont continuer comme cela pour montrer que la famille $(A_n)$ converge dans $\mathcal{F}$ ?