Groupe topologique séparé

Rien à voir avec la structure de groupe. Un espace topologique est séparé si et seulement si la diagonale est fermée.

Preuve : On suppose l'espace séparé. Soit $(x,y)$ dans le complémentaire $C$ de la diagonale. Par séparation, il existe des ouverts $U$ et $V$ tels que $x \in U, y \in V$ et $U \cap V = \emptyset$. Autrement dit, $(x,y) \in U \times V \subset C$. Donc $C$ est voisinage de chacun de ses points et est donc ouvert.

Réciproquement, si $C$ est ouvert, alors si $x \neq y$, $(x,y) \in C$ et par définition de la topologie produit, il existe des ouverts $U$ et $V$ tels que $(x,y) \in U \times V \subset C$, et en particulier $U \cap V = \emptyset$.

Quand on rentre dans le domaine des groupes topologiques, une spécifité est que la séparation est équivalente au fait que $\{e\}$ est fermé, tu devrais essayer de le montrer.