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dans Topologie
Bonsoir à tous
Soit $ X $ un espace topologique, réunion de deux composantes connexes $ Y $ et $ Z $.
Soit $ (x_n)_{ n \geq 0 } $ une suite dans $ Y $, convergente dans $ X $.
Montrer qu'il n'existe aucun élément $ x \in Z $ tel que, $ \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } x_n = x $.
Merci d'avance.
Soit $ X $ un espace topologique, réunion de deux composantes connexes $ Y $ et $ Z $.
Soit $ (x_n)_{ n \geq 0 } $ une suite dans $ Y $, convergente dans $ X $.
Montrer qu'il n'existe aucun élément $ x \in Z $ tel que, $ \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } x_n = x $.
Merci d'avance.
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Réponses
Alors, puisque, $ Z \backslash \partial Z $ est un voisinage de $ x $, alors, il existe un ouvert de $ X $ tel que, $ x \in U \in Z \backslash \partial Z $.
Puisque, $ \displaystyle \lim_{ n \to = \infty } x_n = x $, alors, $ \exists n_0 \in \mathbb{N} $, tel que, pour tout $ n \geq n_0 $, $ x_n \in U \in Z \backslash \partial Z $. Ce qui est absurde, car, les éléments de la suite $ (x_n)_{ n \geq 0 } $ sont par hypothèse, tous dans $ Y $.
Par conséquent, $ x \not \in Z \backslash \partial Z $.
Comment montrer maintenant que, $ x \not \in \partial Z $ ?
Merci d'avance.
C'est vraiment pour écrire, tout ça, car la réponse tient en une ligne !! Mais laissons-lui le plaisir de trouver seul.