Groupe compact: valeur adhérence x^n vers e

Soit $A$ l'ensemble des valeurs d'adhérence de $n\mapsto x^n$. Alors $A$ est fermé (c'est l'intersection des fermés $n \mapsto \overline {\{x^k \mid k \in \N,k \geq n\}}$), d'autre part pour tout $k\in \N$, $x^{-k}A\subseteq A$ (appliquer la définition). De plus, pour toute suite $u$ de $G$, tout $y\in G$ et toute valeur d'adhérence $v$ de $u$, $v^{-1}y$ est une valeur d'adhérence de $n\mapsto (u_n)^{-1}y$ (appliquer la définition; les valeurs d'adhérences d'une suite sont stables par applications de fonctions continues). Soit $a\in A$; il résulte de ce qui précède que $1_G=a^{-1}a$ est valeur d'adhérence de $n\mapsto x^{-n}a$ et que comme $x^{-p}a\in A$ (qui est fermé) pour tout $p\in \N$, $1_G\in A$.

Soient $N\in\N$ et $U$ voisinage de $e$. Il faut montrer $\exists n\in\N$, $n>N$ et $x^n\in U$. Soit $a$ valeur d'adhérence de $(x^n)$, $V$ voisinage de $a$ tq $VV^{-1}\subset U$, $n>N$ tq $x^n\in V$, et $m>2n$ tq $x^m \in V$. Alors $x^{m-n}\in U$ et $m-n>N$. CQFD

Comment fais-tu de $\bar\R$ un groupe, Rescassol ? La règle naturelle $\infty+1=\infty=\infty+2$ devrait donner $1=2$.

Maxtimax a écrit:

j'ai perdu ma capacité à traduire des preuves par suites en preuves bien

Vu tes aptitudes je pense que ça peut revenir très vite ;-)
Je pense cela dit que pour des valeurs d'adhérences certains réflexes peuvent induire en erreur.
A mon avis la bonne traduction serait:
valeurs d'adhérence d'une suite -> valeur d'adhérence d'un filtre (l'intersection des adhérences de ses éléments)
suite extraite -> ultrafiltre plus fin (qui jouerait le rôle d'une extraction "maximale" en quelque sorte).

Les deux lignes ne sont pas la même chose et lorsque je ne suis pas dans un contexte métrisable je n'essaie même pas les suites extraites en général s'il y a des valeurs d'adhérences à gérer (ça ne me vient plus spontanément à l'esprit).