Égalité de deux fonctions sur un ouvert dense
Je cherche deux fonctions continues entre deux mêmes espaces topologiques telles que ces deux fonctions soient égales sur un ouvert dense mais pas sur l'espace tout entier !
En fait cette proposition est vraie lorsque nos espaces topologiques sont métriques. Il est question de construire un contre-exemple !
En fait cette proposition est vraie lorsque nos espaces topologiques sont métriques. Il est question de construire un contre-exemple !
Réponses
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Pour ce genre de questions, il faut chercher des exemples minimaux avec très peu d'éléments.
Par exemple en prenant $X=\{a, b\}$ muni de la topologie $\{\emptyset, \{a\}, X\}$ (de sorte que $\{a\}$ est un ouvert dense), $Y$ un ensemble possédant au moins deux éléments, muni de la topologie grossière (de sorte que toute fonction $X \to Y$ est continue), et les contre-exemples fusent. -
Merci.
Mais est-il toujours possible d'avoir une telle topologie sur X avec {a} dense? -
Un ensemble est dense si tout ouvert non vide intersecte cet ensemble, ici c'est clairement le cas.
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Remarquons en passant que si l'espace d'arrivée est séparé il n'y a pas de contre-exemples.
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Oui merci
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Excusez-moi de revenir mais...
D'après Raoul.S, si l'espace d'arrivée est séparé il n'y a pas de contre-exemple.
Je suppose que ça voudrait dire également que si les singletons sont fermés il n'y a pas de contre-exemple.
J'ai un souci supplémentaire que j'ai souhaité prolonger dans cette discussion.
Pour montrer que le problème soulevé au départ était vrai dans les espaces métriques, voici ce que j'ai fait.
Soient $f_{1}$ et $f_{2}$ deux fonctions continues entre deux espaces métriques. On suppose que $f_{1}$ et $f_{2}$ coïncident sur un ouvert dense que je note O. Alors on a $O \subset (f_{1}\circ f_{2})^{-1}(\{0\})$ et en passant à l'adhérence on a notre résultat. Maintenant j'aimerais reproduire tout ceci dans un espace algébrique clos où la relation de soustraction n'est pas finie (par exemple un corps qui n'est pas un groupe). Et bien-sûr muni de la topologie de Zariski ce qui fait que les singletons sont fermés.
J'aimerais savoir comment contourner ce problème de signe ! -
Un corps qui n'est pas un groupe ?
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Oui en effet l'espace en question n'est pas spécifié plus que cela. Il s'agit d'un espace algèbriquement clos $\mathbb{K}$ tout cours. Dans lequel je voulais montrer que si deux fonctions continues (Topologie de Zariski)coïncident sur un ouvert dense alors elle coïncide partout. J'ai donc fait part de ma preuve à mon enseignant tel que je l'ai fais dans les espaces métriques (Présenté plus haut) mais il m'a dit qu'il y'avait un petit problème qui était que l'opérateur '-' n'est pas défini dans le corps $\mathbb{K}$. Maintenant j'aimerais savoir si en gardant la même philosophie je peux ajuster cette démonstration.
Je sais pas si c'est important mais les fonctions en question sont des fonctions polynomiales (différent de polynômes). -
Math Coss écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,2291310,2292166#msg-2292166
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N'est pas possible ? Je pense que $\mathbb{R}^{+}$ est un corps mais pas un groupe. -
Un corps est en particulier un anneau, et un anneau a un groupe additif sous-jacent. $\mathbb R^+$ n'est donc (pour les lois $+$ et $\times$ usuelles) pas un corps.
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Précisons les lois, peut-être…
Un corps possède deux lois, un groupe, une seule.
Je dis ça pour les gens de passage ;-)
Édit : je n’avais pas vu le message de Poirot. -
Merci
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