Topologie de Sierpinski

C'est bien ce que j'ai compris.
Mais @flipflop a indiqué que je ne devais pas considérer le cas où le voisinage de 1 est {0 , 1}.
Pourquoi ne pas considérer ce voisinage ?

Si je ne considère que le voisinage {1} de 1, il n'y a que le nombre 1, et il n'est donc pas possible d'obtenir la suite 0,1,0,0,1,1,1,1,1...

D'accord, je comprends mieux, et ce n'est asolument pas la représentation mentale que j'avais de la convergence dans cet espace topologique.

Cela ne m'est pas très intuitif, car je fais des analogies (involontaires) avec le cadre plus simple des espaces vectoriels normés (où l'on peut se représenter des boules ouvertes, etc).
Je m'intéresse (tout seul dans mon coin), aux espaces topologiques.
Je crois que la notion de voisinages et d'ouverts, sans les $\epsilon$, m'est plus difficile à comprendre (et pourtant cela ne devrait pas, car elle généralise la notion d'ouvert).

J'essaye à présent que comprendre la suite de l'article (très succinct, aupoint où je me demande si cette topologie a un réel intêret mis à part la caractérisation qui suivante) :
"La fonction indicatrice d'une partie d'un espace topologique X est continue de X dans l'espace de Sierpinski si et seulement si cette partie est ouverte".

La fonction indicatrice $\mathbb{1}_A$ d'une partie A de X est la fonction qui a tout élément de A associe :

• 1 si x $\in$ A
• 0 si x $\notin$ A (x est donc dans X\A)

(=>) Si $\mathbb{1}_A$ est continue, pour toute partie A de X, les éléments de X peuvent être vus comme l'image réciproque d'un ouvert par une application continue :
X = $\mathbb{1}^{-1}_A({{0,1}})$ donc X est un ouvert.

(<=) On suppose que X est un ouvert. Il faut montrer que $\mathbb{1}_A$ est continue.
Revenons à la définition de la continuité.
La fonction $\mathbb{1}_A$ est continue au point x (de X) si et seulement si l'image réciproque de tout voisinage W de $\mathbb{1}_A(x)$ est un voisinage de x.
Montrons que l'image réciproque de tout voisinage W de $\mathbb{1}_A(x)$ est un voisinage de x.

1er cas : si x $\in$ A. Alors $\mathbb{1}_A(x)$ = 1.
Les voisinages de 1 sont {1} et {0,1}. Leurs images réciproques par $\mathbb{1}_A$ sont respectivement A et X,
On peut choisir X comme voisinage de x, puisque par hypothèse c'est un ouvert.

2ème cas : si x $\notin$ A. Alors $\mathbb{1}_A(x)$ = 0.
Le seul voisinage de 0 est {0,1}.
L'image réciproque de {0, 1} par $\mathbb{1}_A$ est X, qui est un ouvert.

Moralité : dans tous les cas, on a pu exhiber pour tout voisinage W de $\mathbb{1}_A(x)$ un voisinage de x.

Est-ce que ma démonstration convient ?
Merci.
(P.S : c'est très laborieux de mon côté, alors que cela doit vous sembler être des choses très élémentaires (:P))

Merci pour vos contributions.

@raoul.S : Je vais être très critique avec moi-même : j'ai en fait réinventé l'eau chaude... 8-)
En raison d'une mauvaise lecture de la proposition... J'aurais du ne pas faire cet exercice dans la foulée, j'aurais du réaliser une pause avant de m'attaquer à cette démonstration.
Je ne sais pas pourquoi j'ai voulu démontrer que l'espace X était un ouvert... Alors que c'est TOUJOURS un ouvert (et un fermé), en tant qu'espace topologique... Je suis donc parti sur cette piste. Alors que ce n'était pas cela, quand je relis, évidemment, il fallait le faire pour A, et non pas pour X...

Le problème avec Wikipédia, c'est que parfois je cherche une définition (connue) pour vérifier les hypothèses. Et je tombe sur un lien, qui m'amène vers un lien, qui amène vers un autre... Et de fil en aiguille, je suis tombé sur cet espace topologique de Sierpinski.

Si vous avez des petits exercices (simples), du genre que celui de cette discussion, n'hésitez pas à me les proposer, pour que je puisse essayer de m'approprier ces notions.