Homéomorphisme

nyadis · August 2021

Bonjour
Soit $f: \mathbb P^1(\R) \rightarrow \mathbb S^1$, tel que $f(x:y)=\Big(\dfrac{|x|}{||(x,y)||}, \dfrac{|y|}{||(x,y)||}\Big)$.
On co-restreint $f$ à son image qui est sur $\mathbb S^{1+} $, où $\mathbb S^{1+}$ représente la partie de la sphère située dans le cadran positif.
$f$ ainsi définie devient bijective Et par ailleurs continue.

J'aimerais montrer que $f$ ne définit pas un homéomorphisme !
Merci.

Cretinus · August 2021

Bonjour
Qu'appelez-vous $\mathbb P^{1}(\R)$ ?

nyadis · August 2021

P¹(R) représente l'espace projectif de R²\{0}

Philippe Malot · August 2021

Bonjour,
Si $x$ et $y$ sont deux nombres réels non nuls, alors $(x:y)\neq (-x:y)$ et $f(x:y)=f(-x:y)$, donc $f$ n'est pas injective.

nyadis · August 2021

Le fait qu'on ait co-restreint f à son image sur S¹⁺ ne rend pas ce contre-exemple invalide ?

Grenouille factorielle · August 2021

Peut-on rendre une application injective en la co-restreignant ?

nyadis · August 2021

La co-restriction n'induit pas une restriction ?

gerard0 · August 2021

Soit $f : \mathbb R \to \mathbb R$ définie par $f(x)=x^2$. On la co-restreint à son image $\mathbb R^+$. Quelle propriété a-t-on gagné ?

Cordialement.

NB : Quand on s'interroge sur une propriété dans un contexte "élaboré", commencer par l'étudier sur des cas élémentaires.