Densité de $ \mathbb{Q} $ dans $ \mathbb{R} $

Pardon, j'ai corrigé @Rescassol. ;-)

Bonjour
Voici comment je résous ce problème que j'ai crée moi meme, pour mon besoin de l'utiliser pour résoudre l'hypothèse de Riemann. Je vous montrerai ça dans Shtam dans les jours à venir.
[Voir la question http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2286048,2286050#msg-2286050 et sa réponse http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2286048,2286052#msg-2286052 il y a moins de 24h ! :-D AD]
Voici la solution :
Soit $ (x_1 , x_2) \in U \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R} $,
Puisque $ \mathbb{R} = \overline{ \mathbb{Q}} $, il existe une suite $ (q_n)_{ n \geq 0 } \in \mathbb{Q}^{ \mathbb{N} } $, telle que $ x_1 = \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } q_n $.
D'où, $ f(x_1 , x_2 ) = f \big( \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } q_n , x_2 \big) = \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } f( q_n , x_2 ) = \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } g(x_2 ) = g(x_2) $, car, $ f $ est continue en $ (x_1 , x_2 ) $ pour tout $ x_2 $ tel que $ (x_1 , x_2 ) \in U $.
D'où, pour tout $ (x_1 , x_2) \in U $ : $ f(x_1 , x_2) = g( x_2 ) $.

Est ce que c'est ça ?

Merci d'avance.

Bonjour

Soit $ T $ une partie dénombrable de $ \mathbb{Q} $ telle que, $ T \subseteq \mathbb{Q} \setminus \mathbb{N} $.
Est ce que nécessairement $ \mathbb{Q} \subseteq \overline{T} $ ?

Merci d'avance.

Pardon. J'ai modifié mon message.

Merci Dom. $ \mathbb{Q} \not \subseteq \overline{T} $.

Bonsoir,

Je considère une partie $ K $ de $ \mathbb{Q} $ définie par $ K = \{ \ \dfrac{p}{q} \ | \ \ p \ \ \mathrm{et} \ \ q \ \ \text{sont tous les deux premiers dans} \ \ \mathbb{Z} \ \} $.
Est ce que, $ \mathbb{R} = \overline{K} $ ?

Merci pour votre aide.

Soit $ x \in \mathbb{R} $,
Soit $ \epsilon > 0 $,
Alors, $ \exists n \in \mathbb{Z} \backslash \{ 0 \} $ tel que, $ x \in [ n , n+1 [ $.
En décomposant $ n+1 $ en produit de nombres premiers élémentaires, à signe près, on obtient $ n +1 = p_{1}^{k_{1}} \dots p_{n}^{k_{n}} $.
Il existe, alors forcément un nombre premier assez grand $ q_{1} $, tel que, $ | x - \dfrac{p_{1}^{k_{1}} \dots p_{n}^{k_{n}}}{p_{1}^{k_{1} -1} \dots p_{n}^{k_{n}} q_{1} } | < \epsilon $.
En simplifiant, Il existe, alors forcément un nombre premier assez grand $ q_{1} $, tel que, $ | x - \dfrac{p_{1}}{ q_{1} } | < \epsilon $.
D'où, $ x \in \overline{K} $.
Par conséquent, $ \mathbb{R} = \overline{K} $.
Est ce que c'est ça ?
Merci d'avance.

@ronan : $ \dfrac{p_{1}^{k_{1}} \dots p_{n}^{k_{n}}}{p_{1}^{k_{1} -1} \dots p_{n}^{k_{n}} q_{1} } = \dfrac{p_{1}}{ q_{1} } $

$ n+1 $ est un entier relatif, donc, suivant le théorème fondamental de l'arithmétique, tout entier relatif se met sous la forme $ p_{1}^{k_{1}} \dots p_{n}^{k_{n}} $, avec, $ p_1 , \dots , p_k $ sont des nombres premiers, et $ k_1 , \dots , k_n $ sont des entiers naturels.

Oui, c'est vrai. Ce passage dans lequel tu t’arrêtes, est faux. Je ne sais pas comment résoudre ce problème alors. Quelqu'un peut-il m'aider ?
Merci d'avance.

Dom,
J'ai déjà fait cette question. Je cherche maintenant une réponse à la dernière question dans ce fil.