Exercice application linéaire continue

Lune · August 2021

Bonjour,
je suis en L3, je commence la topologie et je bloque sur un exercice. L’énoncé est le suivant.

Soient E et F deux e.v.n., et f de E dans F une application linéaire. Montrer que si, pour toute suite (U_n) de E, de limite 0, la suite (f(U_n)) est bornée dans F, alors f est continue.
Merci d’avance pour vos conseils !
Lune

raoul.S · August 2021

Une possibilité est de montrer la contraposée, qui m'a l'air plus simple : si $f$ n'est pas continue alors il existe une suite $(u_n)$ de $E$ qui tend vers $0$ mais telle que $(f(u_n))$ n'est pas bornée.

Lune · August 2021

Je ne sais pas du tout par où commencer, E pouvant être de dimension infinie, je ne connais pas de propriétés sur les applications linéaires dans ce cas.
Auriez-vous une piste pour démarrer le raisonnement ?
Merci d’avance !
Lune

Calli · August 2021

Bonjour,
Tu auras potentiellement besoin du fait qu'une application linéaire est continue ssi elle est continue en 0.

raoul.S · August 2021

Avant de donner une piste pour démarrer le raisonnement, est-ce que tu sais ce que ça veut dire que $f$ est continue ?

Je te demande ça car ça ne sert à rien de te donner des indications si tu as déjà du mal avec la définition de continuité.

Lune · August 2021

Comme nous travaillons avec les suites je suppose que vous parlez de caractérisation séquentielle. Dans tous les cas oui je suis bien familière avec la définition.

raoul.S · August 2021

Il y a plusieurs façons de résoudre l'exo. Finalement je te propose de montrer l'implication dans le sens direct.

Comme a dit Calli ci-dessus, pour montrer que $f$ est continue il suffit de montrer qu'elle est continue en $0$.

Pour montrer que $f$ est continue en $0$ tu dois montrer que pour toute suite $(u_n)$ de $E$ qui tend vers $0$, la suite $(f(u_n))$ tend aussi vers $0$.

Soit donc $(u_n)$ une suite de $E$ qui tend vers $0$.

Est-ce que tu arrives à exploiter la linéarité de $f$ pour montrer qu'en fait $(f(u_n))$ tend vers $0$ ?

Indication : essaie par exemple de construire une suite qui tend vers $0$ de la forme $(u_n/ \lambda_n)$ avec $(\lambda_n)$ une suite qui tend également vers $0$. Puis utilise le fait que $\left(f(u_n/ \lambda_n)\right)$ est bornée par hypothèse.

Lune · August 2021

Bonjour,
Merci pour votre aide, j’aurais une dernière question.
Pour l’instant j’ai ceci:
Soit $(\lambda_n)$ une suite de réels tendant vers 0. On a donc $f(u_n\lambda_n)$ bornée. Or $f$ étant linéaire, $f(u_n\lambda_n)$=$\lambda_n$$f(u_n)$ qui tend vers 0 par produit d’une suite bornée et d’une suite tendant vers 0.
Nous avons donc prouvé que pour toute suite $(u_n)$ tendant vers 0, $f(u_n)$ tend vers $f(0)$ donc $f$ est continue en 0 donc elle l’est sur E.

Mon seul problème ici est le « pour tout $(u_n)$ ». Est-ce qu’il ne faudrait pas démontrer que toute suite $(u_n)$ d’éléments de E, il existe $(\lambda_n)$ dans $R$ et $(v_n)$ dans E tq $(u_n)$=$(\lambda_n v_n)$ ?
Merci d’avance

raoul.S · August 2021

Lune a écrit:

Nous avons donc prouvé que pour toute suite $(u_n)$ tendant vers 0, $f(u_n)$ tend vers $f(0).$

Ici il y a une erreur, ce que tu as montré c'est que $f(u_n\lambda_n)$ tend vers $0$ pas que $f(u_n)$ tend vers $0$.

Lune a écrit:

Est-ce qu’il ne faudrait pas démontrer que toute suite $(u_n)$ d’éléments de E, il existe $(\lambda_n)$ dans $\R$ et $(v_n)$ dans E tq $(u_n)$=$(\lambda_n v_n)$ ?

Oui si tu veux exploiter le résultat d'avant. Le gros du boulot reste à faire...

En résumé (je me base sur ton début de raisonnement) : tu as montré que si $(\lambda_n)$ est une suite de réels qui tend vers $0$ et si $(u_n)$ est une suite de $E$ qui tend vers $0$ alors $(f(u_n\lambda_n))$ tend vers $0$.

Comment utiliser ça pour démontrer que pour toute suite $(u_n)$ de $E$ qui tend vers $0$, $(f(u_n))$ tend aussi vers $0$ ?

AlainLyon · August 2021

Bonjour, les espaces vectoriels normés sont-ils complets ou s'agit-il de n'importe quel espace vectoriel normé?
Les espaces vectoriels normés sont des espaces vectoriels sur quel corps?