Bonjour
Dans un e.v.n. produit $E=E_{1}\times E_{2}\times\cdots\times E_{n}$ muni de la norme produit, tout produit de parties bornées des $E_{i}$ est une partie bornée de $E$.
La réciproque est fausse mais je ne trouve pas de contre-exemple.
Pouvez-vous m'aider ?
Merci.
Réponses
Par exemple, peux-tu trouver un sous-ensemble borné de $\Bbb R\times\Bbb R$ qui n'est pas un rectangle ?
Dans $\mathbb R^2$, le disque est-il un produit de parties bornées de $\mathbb R$ ?
Cordialement.
La réponse est également fausse, comme le montre l'exemple $\R \times \emptyset$ dans $\R^2$.
Si en revanche chacun des facteurs du produit est non vide, alors la propriété devient vraie.