Base de topologie (éclaircissements)

Bonjour,

Je souhaite éclaircir un truc qui est bâclé dans le cours que je lis.

Je rappelle d'abord la définition utilisée.

Définition. Soit $(E,\mathcal O_E)$ un espace topologique. On dit qu'une partie $\mathcal B$ de $\mathcal O_E$ est une base de topologie de $(E,\mathcal O_E)$ si tout élément de $\mathcal O_E$ est réunion d'éléments de $\mathcal B$.

Soit $\mathcal B$ une base de topologie de $(E,\mathcal O_E)$.

Notation. Si $\mathcal A$ est une partie de $\mathcal P(E)$, on note $\mathrm{T}(\mathcal A)$ la topologie engendrée par $\mathcal A$.

Cela n'est pas précisé dans le cours mais je pense qu'on a les résultats suivants :

1) L'ensemble $\mathcal R$ des réunions d'éléments de $\mathcal B$ est une topologie sur $E$.
[small]Preuve :

• $E\in\mathcal R$ et $\emptyset\in\mathcal R$ par définition de $\mathcal B$ car $(E,\emptyset)\in\mathcal O_E^2$.
• Soit $(O_i)_{i\in I}\in\mathcal R^I$. Pour tout $i\in I$, il existe $(O_{i,j})_{j\in J}\in\mathcal B^J$ tel que $O_i=\bigcup\limits_{j\in J}O_{i,j}$ donc $\bigcup\limits_{i\in I}O_i=\bigcup\limits_{(i,j)\in I\times J}O_{i,j}\in\mathcal R$.
• Soit $(A,B)\in\mathcal R^2$. Il existe $(O_i)_{i\in I}\in\mathcal B^I$ et $(O_j)_{j\in J}\in\mathcal B^J$ tels que $A=\bigcup\limits_{i\in I}O_i$ et $B=\bigcup\limits_{j\in J}O_j$. Or pour tout $(i,j)\in I\times J$, $O_i\cap O_j\in\mathcal O_E$ donc il existe $(O_{i,j,k})_{k\in K}\in\mathcal B^{K}$ tel que $O_i\cap O_j=\bigcup\limits_{k\in K}O_{i,j,k}$. D'où $A\cap B=\bigcup\limits_{(i,j,k)\in I\times J\times K}O_{i,j,k}\in\mathcal R$.

[/small]
2) Plus précisément, $\mathcal R=\mathrm{T}(\mathcal $.
[small]Preuve:

• D'après 1), $\mathcal R$ est une topologie sur $E$ qui contient $\mathcal B$ donc $\mathrm{T}(\mathcal \subset\mathcal R$.
• Si $O\in\mathcal R$, il existe $(O_i)_{i\in I}\in\mathcal B^I$ tel que $O=\bigcup\limits_{i\in I}O_i$. Or pour tout $i\in I$, $O_i\in \mathrm{T}(\mathcal $ qui est une topologie donc $O\in\mathrm{T}(\mathcal $. D'où $\mathcal R\subset\mathrm{T}(\mathcal $.

[/small]


Est-ce correct ?