Distance entre deux parties

Il me semble avoir planché sur ces notions dans un sujet récent d’agreg, sans doute l’interne.

L'assertion à démontrer est vraie dans tout espace métrique, même ceux où un borné fermé n'est pas nécessairement compact.
Je préfère donc les démonstrations qui n'utilisent pas cette propriété.

Polka a écrit:

Ce qui m'amène à une question probablement très fréquente: pour des questions simples en topologie, comme celle-ci, comment choisissez-vous l'approche ? En particulier, séquentielle vs propriétés de recouvrements par exemple ? J'imagine qu'il n'y a pas de réponse évidente ...

J'ai envie de dire "au feeling". :-D C'est aussi une question de goût : moi je n'aime pas particulièrement utiliser la propriété de Borel-Lebesgue, donc je me sers plus souvent des extractions de suite ou du théorème de la borne atteinte. D'autres n'aiment pas les sous-suites... :-D En toute généralité, je ne vois pas quoi répondre de mieux. Je peux quand même dire qu'en dehors des espaces métriques les suites sont globalement proscrites.

cc, quand tu vois cela en ANS, en fait tu penses filtres / ultrafiltres ?

Je ne connais ni l'un ni l'autre, mais il me semblait que les filtres / ultrafiltres avaient été inventés pour faire des raisonnements type séquentiels, hors cadre métrique, mais sans nécessairement faire de l'ANS qui, me semble t-il, est une branche totalement différente.

Dis moi si je n'ai rien compris :-D

Comme Calli évoque un fil que j'avais ouvert où j'avais fait part de mon aversion pour les suites extraites, je réponds un peu :

0) Les recouvrements, je trouve ça beaucoup plus joli et raffiné, et quand je dois extraire des sous-suites, j'ai l'impression d'être un garagiste.

1) Comme Calli l'a souligné, dans les espaces topologiques généraux, on ne peut pas tout faire avec des suites (en fait, on peut utiliser des "suites généralisées", mais bon).

2) Pour moi, ça relève de la coquetterie logique, mais j'ai cru remarquer que parfois, l'axiome du choix dénombrable (ou plus) peut être éliminé quand on raisonne proprement. En effet, quand on extrait des sous-suites, on construit des trucs par récurrence, on utilise des $\forall n \in \mathbb{N} \exists x\quad blabla$ qui, il me semble, peuvent être enlevés. Je dis que pour moi, c'est de la coquetterie, parce que j'ai jamais creusé les détails, mais il y a probablement des gens qui l'ont fait, et c'est probablement intéressant du point de vue logique.

3) Les suites ont, pour moi, été un frein à une imagerie mentale adéquate pour des trucs de topologie ; par ailleurs, le fait qu'il existe des ordres dont la cofinalité n'est pas dénombrable a été une surprise pour moi, et je tiens pour responsable de cette surprise l'idée qui s'était formée en moi : "le dénombrable permet de tout explorer". (Polka, si tu ne sais pas ce que c'est que la cofinalité, soit $(E,\leq)$ un ensemble ordonné ; une partie $A$ de $E$ est dite cofinale si, pour tout $x \in E$, il existe $a \in A$ tel que $x\leq a$, autrement dit si $A$ est une échelle qui, si on monte les barreaux, permet de dépasser tout le monde ; eh bien, il y a des ensembles ordonnés qui n'ont aucune partie dénombrable qui est cofinale).

4) Je croyais que tout ce qui pouvait se faire en topologie avec des suites pouvait se faire sans, jusqu'à ce que je bloque sur le truc mis en lien par Calli (mais que je ne désespère pas de désuitiser un jour). A part ça, tout ce que j'avais rencontré était "désuitisable".

Voilà voilà !