Suite extraite

Si on rajoute que l'espace est séparé (voire métrique, comme implicitement dans ton message), il suffit de construire l'extractrice par récurrence, ce qui est plus méthodique que ce que tu suggères. Je te laisse y réfléchir.

Bonjour,
Ton exemple ne marche pas Poirot...* Et la bonne hypothèse ça n'est pas la séparation, mais le fait d'être à bases dénombrables de voisinages. Il y a des espaces séparés dans lesquels la propriété est fausse.

Edit : La séparation n'est pas une hypothèse suffisante à elle seule. On a besoin que l'espace soit par exemple à bases dénombrables de voisinages, ce que est le cas pour les espaces métriques.

Mais avec cette définition de la densité de $(x_n)$ la propriété demandée est fausse ! Le contre-exemple un peu compliqué de Poirot le montre, ainsi que le contre-exemple $E = \{0,1\}$ muni de la topologie discrète avec la suite $x_0=1$ et $\forall n\geqslant 1, x_n=0$.

Comme énoncé correct, je propose

énoncé 1 a écrit:

Soient $E$ un espace métrique et $(x_n)$ une suite de $E$. On suppose que $(x_n)$ est dense au sens suivant : pour tout ouvert $U$ de $E$ et tout entier $N$, il existe un entier $n\geqslant N$ tel que $x_n\in U$. Montrer que, pour tout $x\in E$, il existe une suite extraite de $(x_n)$ qui converge vers $x$.

ou bien

énoncé 2 a écrit:

Soient $E$ un espace métrique et $A\subset E$. On suppose que $A$ est dense dans $E$. Montrer que, pour tout $x\in E$, il existe une suite $(x_n)$ à valeurs dans $A$ qui converge vers $x$.

Ah oui, je n'avais pas fait attention à ça !! Je l'ai lu et je l'ai oublié. Dans ce cas, l'énoncé est correct. Et je comprends mieux le contre-exemple de Poirot. Je vais éditer mes messages précédents pour corriger ce que j'ai dit.

@Blanc par densité de $A=\{x_n\mid n\in \N\}$, il existe $n_1\in \N$ tel que $x_{n_1}\in B(x,1)$ où $B(...)$ est la boule associée à la distance $d$ sur $E$.

Pour construire le deuxième terme de la suite extraite on constate qu'il existe $n_2>n_1$ tel que $x_{n_2}\in B(x,1/2)$.

En effet, par densité on sait qu'il existe $n_2\in \N$ tel que $x_{n_2}\in B(x,1/2)$ mais il faut prouver qu'on peut choisir ce $n_2$ comme étant strictement plus grand que $n_1$.

Pour ce faire on considère $r_1:=\min\{d(x,x_n)\mid n\leqslant n_1\}$. On sait que $r_1>0$ et par densité il existe $n_2\in \N$ tel que $x_{n_2}\in B(x, \min(1/2, r_1))$. Par construction on a forcément $n_2>n_1$ comme désiré et $x_{n_2}\in B(x,1/2)$.

Il suffit de continuer ainsi avec $x_{n_3}$ etc. on définit ainsi par récurrence une suite extraite vérifiant $x_{n_k}\in B(x,1/k)$ pour tout $k\in \N$. Tu peux essayer de rédiger formellement le tout.

Rien de compliqué mais c'est un peu subtil en effet.

En fait pour rédiger cette partie de la preuve on a disons deux choix :

1) Faire comme toi en choisissant une suite dans l'ensemble $A:=\{x_n\mid n\in\N\}$. Dans ce cas pas besoin de parler de suite extraite (car c'en est pas forcément une) et il n'y a effectivement pas besoin de distinguer le cas $x=x_p$ du cas $\forall p\in\N, x\neq x_p$.

2) Faire comme dans ton bouquin où on n'introduit pas $A$ mais on considère une suite extraite de $(x_n)$. Là il y a un petit problème qui nous oblige à distinguer les deux cas que tu mentionnes. En effet supposes qu'il existe $p\in\N$ tel que $x=x_p$ alors rien ne nous dit qu'on puisse approcher $x$ avec une suite extraite.

Par exemple si ton espace métrique est $E:=[0,1/2]\cup \{1\}$ munit de la distance usuelle de $\R$ et que $x_0=1$ et $x_1,x_2,...$ est une énumération des rationnels contenus dans l'intervalle $[0,1/2]$, tu vois bien que $1=x_0$. Mais tu remarques aussi que dans ce cas il n'existe pas de suite extraite qui converge vers $1$.

Avec ta solution ce problème ne se pose pas car toi tu peux prendre plusieurs fois le même élément dans $A$ car tu n'as pas besoin d'une suite extraite. Donc pour en revenir à l'exemple ci-dessus, avec ta solution on pourrait approcher $1$ avec la suite constante égale... à $x_0$.

Peut-être qu'ils n'ont pas adopté ta solution car il fallait introduire $A$ (autre objet).

La définition de "$(x_n)$ est une suite dense" est : l'ensemble $\{x_n\mid n\in\N\}$ est dense dans $E$.

Explicitement : pour tout $x\in E$ et pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $k\in \N$ tel que $d(x,x_k)\leq \varepsilon$.

@Blanc la définition de la densité d'une suite considérée par ton livre est celle utilisée par tout le monde, il n'y en a pas d'autres, c'est bien $\{x_n\mid n\in\N\}$ est dense.

Essaie de comprendre mon message ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,2264230,2265066#msg-2265066 avec l'exemple. Tu verras pourquoi avec la solution du livre il faut distinguer les deux cas.

Moi aussi je préfère l'argument avec l'ensemble $\{x_n\mid n\in\N\}$ mais franchement ce n'est pas très important.