Points fixes ou communs
dans Topologie
Comme les fils passés sur ce même sujet n'ont pas attiré les foules, je vais faire une déclinaison de plusieurs questions, les plus "faciles"*** possibles
*** au sens laissant le plus possible d'espace pour des contre-exemples éventuels.
1/ Pour chaque espace topologique $E$ on notera $C(E)$ l'ensemble des applications continues de $E$ dans $E$. On note aussi :
$PF(E):=$ l'énoncé $\forall f\in C(E)\exists x\in E: f(x)=x$
$GPF(E):=$ l'énoncé $\forall n\in \N^*: PF(E^n)$
$PC(E):=$ l'énoncé $\forall (f,g)\in (C(E)^2$ qui commutent $ : \exists x\in E: f(x)=g(x)$
$UPC(E):=$ l'énoncé $\forall (f,g)\in (C(E)^2$ qui commutent $ : \exists x\in E: f(x)=g(x)=x$
2/ Quelles sont les implications de la forme $\forall E: X(E)\to Y(E)$, avec $X,Y$ pris parmi les propriétés précédentes?
3/ On pourra aussi restreindre aux espaces séparés, métriques, compacts, etc
En espérant ne rien avoir oublié. Eventuellement, je rajouterai des questions autour de ce thème si besoin.
Dans un premier temps, si ça intéresse quelqu'un de construire un $E$ vérifiant
$$non [ PF(E) \to PC(E)] $$
ce serait coolos B-)
La seule chose que je sache est que $non(UPC([0,1]))$
En remplaçant "continues" par croissantes, on a un résultat plus fort que UPC pour les ordres complets qui est que tout ensemble de fonctions croissantes et commutant entre elles a un point fixe commun.
Je suis persuadé que résoudre $GPF\to PC$ pour $E:=[0,1]$ donnerait "enfin" une "bonne" preuve du théorème de Brouwer et ses périphériques (dont je rappelle qu'elle n'a pas encore été trouvée, toutes les preuves sont "ad hoc")
*** au sens laissant le plus possible d'espace pour des contre-exemples éventuels.
1/ Pour chaque espace topologique $E$ on notera $C(E)$ l'ensemble des applications continues de $E$ dans $E$. On note aussi :
$PF(E):=$ l'énoncé $\forall f\in C(E)\exists x\in E: f(x)=x$
$GPF(E):=$ l'énoncé $\forall n\in \N^*: PF(E^n)$
$PC(E):=$ l'énoncé $\forall (f,g)\in (C(E)^2$ qui commutent $ : \exists x\in E: f(x)=g(x)$
$UPC(E):=$ l'énoncé $\forall (f,g)\in (C(E)^2$ qui commutent $ : \exists x\in E: f(x)=g(x)=x$
2/ Quelles sont les implications de la forme $\forall E: X(E)\to Y(E)$, avec $X,Y$ pris parmi les propriétés précédentes?
3/ On pourra aussi restreindre aux espaces séparés, métriques, compacts, etc
En espérant ne rien avoir oublié. Eventuellement, je rajouterai des questions autour de ce thème si besoin.
Dans un premier temps, si ça intéresse quelqu'un de construire un $E$ vérifiant
$$non [ PF(E) \to PC(E)] $$
ce serait coolos B-)
La seule chose que je sache est que $non(UPC([0,1]))$
En remplaçant "continues" par croissantes, on a un résultat plus fort que UPC pour les ordres complets qui est que tout ensemble de fonctions croissantes et commutant entre elles a un point fixe commun.
Je suis persuadé que résoudre $GPF\to PC$ pour $E:=[0,1]$ donnerait "enfin" une "bonne" preuve du théorème de Brouwer et ses périphériques (dont je rappelle qu'elle n'a pas encore été trouvée, toutes les preuves sont "ad hoc")
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Réponses
-
Si $E$ est un ensemble fini de cardinal inférieur ou égal à $5$, on a (par ordinateur) $PF(E) \implies PC(E)$, et même $PF(E) \implies UPC(E)$. Peut-être est-ce vrai pour tout $E$ de cardinal fini ?
$E$ n'est pas supposé séparé. -
De mon téléphone
Un grand merci à toi Marco.
Dans le cas des ensembles fini les fonctions continues sont des fonctions croissante pour le préordre :
<< x est dans tous les voisinages de y>>
Ta découverte pourrait indiquer que la propriété du point fixe entraîne la complétude du préordre
Dicté à mon téléphone.
[Corrigé "prêt ordre" en préordre. :-) AD]Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
J'aime beaucoup le concept de "prêt ordre" Christophe. :-D
-
Un grand merci! J'avais du soleil dans les yeux en dictant je ne pouvais pas voir.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
Grace à toi Marco, je vais énoncer une nouvelle question, assez proche. Je reste dans ce fil.
Soit $(E,\leq)$ un ensemble ordonné. Voici des propriétés (fonction abrège "fonction définie sur $E$ tout entier") :
(1) $E$ est complet (tout ensemble possède une borne inf (et donc sup aussi))
(2) Toute fonction croissante a un point fixe
(3) Tout ensemble $A$ commutatif pour $\circ$ ne contenant que des fonctions croissantes est tel que:
$$\exists e\in E: \forall f\in A: a=f(a)$$
On a les implications presque évidentes qui suivent:
(1) => (3)
(3)=>(2)
Question 1156: y en a-t-il d'autres qui sont prouvables?
Les recherches de Marco ont augmenté la "probabilité" que oui (et même que les 3 énoncés sont équivalents)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Bonjour !
Pour $(2)\Rightarrow(1)$, je pense qu'il faut faire une hypothèse comme $\leq$ totale (sinon on a un contre-exemple avec $\{\{a\}, \{b\}, \{a, b\}\}$ et $\subset$).
Dans ce cas, sauf erreur de ma part, ça fonctionne : si $C\subset E$ n'a pas de borne inf, on pose $A$ l'ensemble de ses minorants. Il n'a alors pas de borne sup, et on pose $B$ l'ensemble des majorants de $A$, qui n'a pas de borne inf. Alors on a $A<B$ et $E = A\sqcup B$.
Par récurrence on crée une suite strictement croissante non majorée dans $A$, indexée par des ordinaux. On pose $f(a)$ le plus petit terme de la suite qui majore strictement $a$ pour $a\in A$. Pareil pour $B$ dans l'autre sens, et alors $f$ est croissante sans point fixe. -
B.O.L: Merci pour le contre-exemple !
Est-ce que tu peux explique ta preuve lorsqu'on l'applique à $E=\Z^-$, l'ensemble des entiers négatifs. En effet, $C=E$ n'a pas de borne inf, puisqu'elle n'a pas de minorant. Donc $A=\emptyset$, et $A$ n'a pas de borne sup. Tous les éléments de $E$ sont des majorants de $A$. Donc $B=E$. Mais ensuite comment construire une suite dans $A$, vu que $A=\emptyset$ ? -
À moins que, quand on dit $C$ n'a pas de borne inf, cela veut dire $C$ est minorée, mais n'a pas de plus grand minorant.
-
Un grand merci à vous. Je lirai plus tranquillement plus tard, j'ai eu du mal à capter le deuxième paragraphe de BOL car je n'avais pas compris qu'il traitait le cas total.
Un grand merci donc. Alors précision psychologique. A aucun moment (ce n'est pas grave) j'ai précisé que tout était fini (mais tant mieux à la rigueur!!! ), alors que c'était mon intention.
Je vais mettre un copié-collé avec un numéro 1157 pour la même question, mais ne concernant que les ensembles finis.
@Marco: par complet "moi" en tout cas, je veux dire "tout ensemble a un plus grand minorant" (donc en particulier un minorant).
Mais de toute façon, pour $\N$ ou pour $\Z^-$, on voit bien le genre de contre-exemple. Ca se généralise à tout ordre total.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Si $E$ n'est pas connexe, il existe $f$ continue qui n'admet pas de point fixe. Donc peut-être, si $E$ est fini, je me demande, si on n'a pas l'implication: $E$ est connexe $\implies$ toute fonction continue admet un point fixe.
Pour les ordres, cela donne, l'ordre n'est pas réunion de deux ensembles ordonnés $F$ et $G$ tels que pour tout $x \in F, y \in G$, $x$ et $y$ ne sont pas comparables $\implies$ toute fonction croissante admet un point fixe. -
Concernant les ordres, c'est faux: par exemple $E=\{0,1,2,3\}$ et $0 \leq 1 \geq 2 \leq 3 \geq 0$. Et $f$ échange $0$ et $2$, et échange $1$ et $3$. Alors $f$ n'a pas de point fixe.
-
Pour $E$ espace topologique, c'est faux aussi donc. $E=\{0,1,2,3\}$ et $T=\{\emptyset,\{0\},\{2\}, \{0,1,2\},\{2,3,0\},\{2,0\},\{0,1,2,3\}\}$, avec la même $f$.
-
Merci marco, je vais regarder ça.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Bonjour!
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