Connexe si TVI globalement vérifié ?

Bonjour,
Déjà j'interprète "fonction réelle" comme à valeurs réelles et non à variable réelle. Donc je ne suppose pas $E$ partie de $\mathbb{R}$, juste espace métrique (voir topologique si c'est vrai), ai-je raison ?

Je connaissais cette caractérisation Calli. Mais je n'aboutis pas. Je me donne $f:E\to \{0,1\}$ continue. Je note $C(x)$ les composantes connexes, alors $f$ est constante sur chaque $C(x)$ et vaut $0$ ou $1$.

Ensuite, si $E$ est un e.v.n. alors je peux considérer le segment $[x,y]$ dans $E$. Puis $f([x,y])$ est connexe donc j'obtiens que $f$ à la même valeur sur $C(x)$ et $C(y)$. D'où j'obtiens $f$ constante sur $E$.
Peut-être qu'il est nécessaire que $E$ soit un e.v.n. ?

Bonjour,

L'énoncé que j'ai sous les yeux est "Si toute fonction réelle continue sur E vérifie le TVI, alors E est connexe", livre de Dreveton-Lhabouz. Oui c'est peut-être ça Siméon, je commence à me demander ce qu'ont voulu dire les auteurs. :-S

D'ailleurs, j'espère qu'ils feront une ré-édition, car j'ai pu compter pas mal de problèmes plus ou moins "gros".

Oui je suis tout à fait d'accord.

D'accord merci. Montrons l'énoncé suivant.
$E$ espace topologique. Si pour toute fonction $f:E\rightarrow \mathbb{R}$, $f(E)$ connexe de $\mathbb{R}$, alors $E$ connexe.
Soit $g:E\rightarrow \{0,1\}$ continue. Alors par hypothèse $g(E)$ connexe de $\mathbb{R}$. Nécessairement, $g(E)$ singleton puis $g$ constante.

Si je remplace $\mathbb{R}$ par un espace topologique $F$, ayant au moins deux éléments (que je note par abus $0$ et $1$), dans l'énoncé. Alors en reprenant le raisonnement, puisque $g(E)$ connexe de $F$ on ne peut avoir $g(E)=\{0,1\}$. Car $\{0,1\}=\{0\}\cup \{1\}$ s'écrit comme union disjointes de deux fermés non vides, donc n'est pas connexe. Puis, l'image n'étant pas vide on a $g$ constante.

Est-ce plus ou moins correct ?

[EDIT] Pour le coup j'imaginais ce résultat comme une réciproque partielle du TVI, mais sans parler de continuité ce n'en n'est pas une. Cet énoncé ne m'a pas l'air très utile en pratique ?

Pas de soucis. Pour la généralisation je ne comprends pas pourquoi avoir l'injection continue ?

Si je me fixe E, F espaces topologiques, et $x\neq y\in F$. Alors on a la caractérisation : E connexe ssi toute fonction continue de E dans $\{x, y\}$ est constante. Est-ce un problème de topologie sur $\{x, y\}$ induite par F (qui me semble être la discrète, qu'importe la topologie de F) ?

Bonjour,

D'accord merci, je n'avais pas assez de recul. Et donc dans ce cas la topologie induite n'est pas forcément la topologie discrète.

Bonjour,

christophe c, je lis et relis ton message, et j'ai du mal à faire le lien entre ton exemple et le problème du livre, étant donné que l'image de f n'intervient pas. Je comprends seulement que

$$E \textrm{ non connexe }\Longrightarrow \exists f:E\rightarrow\mathbb{R}, f\in C^0\textrm{ et } f\notin TVI$$