Intersection dense
dans Topologie
Bonjour
Soit X un espace topologique, U et V deux ouverts denses.
Mq Montrer que : U inter V est dense
J'ai vraiment du mal à prouver ce résultat dans un espace topologique, dans un métrique c'est bon on a des boules, distances ...
Quelqu'un pourra m'aider s'il vous plaît ?
Soit X un espace topologique, U et V deux ouverts denses.
Mq Montrer que : U inter V est dense
J'ai vraiment du mal à prouver ce résultat dans un espace topologique, dans un métrique c'est bon on a des boules, distances ...
Quelqu'un pourra m'aider s'il vous plaît ?
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Réponses
Si G= U inter V contient un x de X donc G va rencontrer X
Soit $\varOmega$ un ouvert non vide de $X$; il s'agit de montrer que $\varOmega\cap\left(U\cap V\right)\neq\emptyset$.
On a $\varOmega\cap\left(U\cap V\right)=\left(\varOmega\cap U\right)\cap V$.
Que dire de $\left(\varOmega\cap U\right)$ ?
Puis de $\left(\varOmega\cap U\right)\cap V$ ?
Soit $X$ un espace topologique, $U$ un ouvert dense de $X$, et $A$ une partie dense de $X$.
Alors $A\cap U$ est une partie dense de $X$.
$U$ étant un ouvert dense dans $X$ donc $ G =\Omega \cap U $ va rencontrer $X$.
Donc $G \cap V$ va rencontrer aussi $X$ vu que $V$ lui même rencontre $X$.
C'est bon ?
Raoul.S merci pour votre proposition, je le ferai.
il faut faire ce qu'a suggéré raoul.S
Une fois établi qu'une partie de X est dense dans X si et seulement si elle rencontre tout ouvert non vide de X, le reste coule de source.
Ton exo est très exactement équivalent à "soient $A,B$ des fermés d'intérieur vide, tous les deux, prouver que $A\cup B$ est d'intérieur vide".
Et pour toute la suite de tes études, tu peux jongler de cette façon pour choisir le point de vue que ton cerveau préfère.