Définition de la densité
Bonjour,
Sur Wikipedia, la densité est définie comme suit. Un sous-ensemble $A$ d'un espace topologique $X$ est dense dans $X$ si pour tout $x \in X$, tout voisinage ouvert de $x$ contient au moins un point de $A$.
Y a-t-il un intérêt à prendre cette définition plutôt que de dire $O \cap A \neq \varnothing$ pour tout ouvert $O$ non vide ? Ceci me paraît plus clair. Le $x$ de la définition de la Wikipedia me semble encombrant.
Sur Wikipedia, la densité est définie comme suit. Un sous-ensemble $A$ d'un espace topologique $X$ est dense dans $X$ si pour tout $x \in X$, tout voisinage ouvert de $x$ contient au moins un point de $A$.
Y a-t-il un intérêt à prendre cette définition plutôt que de dire $O \cap A \neq \varnothing$ pour tout ouvert $O$ non vide ? Ceci me paraît plus clair. Le $x$ de la définition de la Wikipedia me semble encombrant.
Réponses
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Bonjour.
Comme l'équivalence entre la définition de Wikipédia et la tienne rectifiée ("pour tout ouvert $O$ de $X$") est immédiate, ce n'est qu'une question de façon d'amener l'idée. Celle avec $x$ correspond plus à l'intuition de la densité ("on peut approcher tous les éléments de $X$ par des éléments de $A$), donc est intéressante pour celui qui découvre. La tienne est peut-être plus efficace, mais comme je l'ai peu utilisée, je ne sais pas.
En quoi ce $x$ (qu'on peut ne pas citer) est-il "encombrant" ?
Cordialement. -
Elle la reflète mieux, et en pratique on l'utilise souvent donc il est important de la garder en tête.
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Bonjour!
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