Convergence dans un sous-espace

Pourquoi ça te parait bizarre ?
C'est tout à fait raisonnable et plus ou moins exactement ce qu'on espère obtenir.

On ne veut pas que la phrase "$(x_\lambda)$ converge vers $x$" dépende du sous-espace dans laquelle on l'interprète !

Merci Raoul.

J'attends maintenant la réponse de Saturne, ça fait 2 messages où il emploie ce mot.

Cordialement.

Merci.

Je fais un peu dériver le sujet vu que tu as obtenu réponse à ta question.

Les suites caractérisent la continuité dans les espaces métriques : c'est essentiellement parce que les espaces métriques ont des bases dénombrables de voisinages.

Maintenant je me donne $E$ et $F$ deux espaces topologiques et une fonction $f : E \longrightarrow F$. Je note $\kappa$ le minimum des cardinaux de toutes les bases de voisinages dans $E$, et $\lambda$ le cardinal analogue dans $F$. Alors est-ce qu'on a (ça me semblerait moral) $f$ continue si et seulement si pour tout $x \in E$ et tout filet $(x_{\alpha})_{\alpha \in I}$ tels que $|I| \geq \max(\lambda, \kappa)$ on a $\lim_{\alpha} f(x_{\alpha}) = f(x)$ ?

Saturne : je ne suis pas sûr de la traduction de "net" - j'utilise aussi "filet" mais n'ai jamais vu personne l'utiliser.

Poirot : en principe oui, mais attention, on ne peut pas supposer $I$ bien, ni même totalement ordonné en général il me semble. Je n'ai plus l'exemple en tête mais je l'avais vu passer.
Par ailleurs attention, ta borne cardinale n'est pas la bonne : il faudrait plutôt mettre $\leq$ (ta condition implique que ça marche pour tout filet, puisque pour tout filet je peux lui rajouter un "début" qui ne change rien à la convergence)

Pour le "en principe oui" - je remplace $\max (\lambda, \kappa)$ par $\kappa |E|$: un sens est évident. Dans l'autre sens, soit une telle $f$ et soit $x\in E$ (on veut montrer la continuité en $x$). Soit $U$ un voisinage de $f(x)$.
Soit $I=\{(y,V) \mid V$ voisinage de $x$ et $y\in V \}$, préordonné par l'inclusion "selon $V$".
Soit de plus le filet défini sur $I$ par $(y,V) \mapsto y$. Alors très clairement ce filet converge vers $x$.
De plus, $|I| \leq \kappa |E|$, en remplaçant "voisinage" par "membre d'une base de voisinage suffisamment petite"

Donc son image par $f$ converge vers $f(x)$, et c'est fini.
Si on s'autorise l'axiome du choix, on peut passer de $\kappa |E|$ à $\kappa$, comme l'a montré JLT.

Merci JLT et Max.