Limite supérieure d'un filet dans R
Bonjour,
Soit ${(x_\lambda)}_{\lambda \in \Lambda}$ un filet dans $\mathbb{R}$. Soient $x \in \mathbb{R}$ et $\epsilon > 0$. Si $\limsup_{\lambda} x_\lambda \leqslant x$, a-t-on l'existence de $\lambda_0 \in \Lambda$ tel que $x_\lambda < x + \epsilon$ pour tout $\lambda \succeq \lambda_0$ ?
Soit ${(x_\lambda)}_{\lambda \in \Lambda}$ un filet dans $\mathbb{R}$. Soient $x \in \mathbb{R}$ et $\epsilon > 0$. Si $\limsup_{\lambda} x_\lambda \leqslant x$, a-t-on l'existence de $\lambda_0 \in \Lambda$ tel que $x_\lambda < x + \epsilon$ pour tout $\lambda \succeq \lambda_0$ ?
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Réponses
$\limsup_\lambda x_\lambda = \inf \{u_{\lambda_0} \mid \lambda_0 \in \Lambda\}$ où $u_{\lambda_0} = \sup\{x_\lambda \mid \lambda \succeq \lambda_0\}$. Donc $\limsup_\lambda x_\lambda \leqslant x$ $\implies$ $\exists \lambda_0$ tel que $u_{\lambda_0} < x + \epsilon$ $\implies$ $\forall \lambda \succeq \lambda_0$, $x_\lambda < x + \epsilon$.
Soient ${(x_\lambda)}_{\lambda \in \Lambda}$ et ${(y_\lambda)}_{\lambda \in \Lambda}$ deux filets de nombres réels indexés par le même ensemble dirigé $\Lambda$. S'il existe $\lambda_0 \in \Lambda$ tel que $x_\lambda \preceq y_\lambda$ pour tout $\lambda \succeq \lambda_0$, a-t-on $\limsup x_\lambda \leqslant \limsup y_\lambda$ ?
Notons $\overline{x}_\lambda = \sup\{x_{\lambda'} \mid \lambda' \succeq \lambda\}$.
Soit $\lambda_1 \in \Lambda$. Pour tout $\lambda \succeq \max\{\lambda_0,\lambda_1\}$, on a $x_\lambda \leqslant y_\lambda \leqslant \overline{y}_{\lambda_1}$, donc $\overline{x}_{\lambda_1} \leqslant \overline{y}_{\lambda_1}$. On a alors $\limsup_\lambda x_\lambda \leqslant \overline{y}_{\lambda_1}$, puis $\limsup_\lambda x_\lambda \leqslant \limsup_\lambda y_\lambda$.
Soit $\lambda_1 \in \Lambda$. Pour tout $\lambda \succeq \max\{\lambda_0,\lambda_1\}$, on a $x_\lambda \leqslant y_\lambda \leqslant \overline{y}_{\lambda_1}$, donc $\overline{x}_{\max\{\lambda_0,\lambda_1\}} \leqslant \overline{y}_{\lambda_1}$. On a alors $\limsup_\lambda x_\lambda \leqslant \overline{y}_{\lambda_1}$, puis $\limsup_\lambda x_\lambda \leqslant \limsup_\lambda y_\lambda$.