Limite supérieure d'un filet dans R

Autre question sur la limite supérieure d'un filet de nombres réels.

Soient ${(x_\lambda)}_{\lambda \in \Lambda}$ et ${(y_\lambda)}_{\lambda \in \Lambda}$ deux filets de nombres réels indexés par le même ensemble dirigé $\Lambda$. S'il existe $\lambda_0 \in \Lambda$ tel que $x_\lambda \preceq y_\lambda$ pour tout $\lambda \succeq \lambda_0$, a-t-on $\limsup x_\lambda \leqslant \limsup y_\lambda$ ?

Hmm ok, mais comment le démontre-t-on ?

Hmm ok. Voici un essai, mais je vais encore le relire.

Notons $\overline{x}_\lambda = \sup\{x_{\lambda'} \mid \lambda' \succeq \lambda\}$.

Soit $\lambda_1 \in \Lambda$. Pour tout $\lambda \succeq \max\{\lambda_0,\lambda_1\}$, on a $x_\lambda \leqslant y_\lambda \leqslant \overline{y}_{\lambda_1}$, donc $\overline{x}_{\lambda_1} \leqslant \overline{y}_{\lambda_1}$. On a alors $\limsup_\lambda x_\lambda \leqslant \overline{y}_{\lambda_1}$, puis $\limsup_\lambda x_\lambda \leqslant \limsup_\lambda y_\lambda$.

Je recommence...

Soit $\lambda_1 \in \Lambda$. Pour tout $\lambda \succeq \max\{\lambda_0,\lambda_1\}$, on a $x_\lambda \leqslant y_\lambda \leqslant \overline{y}_{\lambda_1}$, donc $\overline{x}_{\max\{\lambda_0,\lambda_1\}} \leqslant \overline{y}_{\lambda_1}$. On a alors $\limsup_\lambda x_\lambda \leqslant \overline{y}_{\lambda_1}$, puis $\limsup_\lambda x_\lambda \leqslant \limsup_\lambda y_\lambda$.

Merci @raoul.S :-)