Séparabilité ensemble de fonctions

Cere
Cere
dans Topologie
Bonjour à tous
Je voulais savoir si l'ensemble $C(X)$ des fonctions continues de $X$ dans $X,$ où $X$ est un espace métrique compact, est séparable ?
Si oui, auriez-vous une référence pour que je consulte une preuve ?

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Oui, c'est une conséquence classique du théorème de Stone-Weierstrass. Tu prends une suite $(x_n)_n$ dense dans $X$, et le théorème de Stone-Weierstrass implique que l'ensemble des polynômes à coefficients rationnels en les $x \mapsto d(x, x_n)$ forme une partie dense de $\mathcal C(X)$, et bien évidemment cette partie est dénombrable.

    Pour info il y a une réciproque : si $X$ est un espace topologique compact tel que $\mathcal C(X)$ est séparable alors $X$ est métrisable.
  • Foys
    Foys
    @Poirot : Stone-Weierstrass ne s'applique pas directement car $X$ n'est pas $\R$ (edit. Je veux dire : on parle de $C^0(X,X)$ et non de $C^0(X,\R)$) (mais on est supposément de $X$ dans $X$. Bon Comme $X$ se plonge dans $[0,1]^{\N}$ on peut peut-être bricoler...).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Poirot
    Poirot
    Ah oui oups, j'ai lu vite en pensant que $\mathcal C(X)$ désignait l'espace des fonctions continues sur $X$ à valeurs dans $\mathbb R$ !
  • Foys
    Foys
    On rappelle que $(X,d)$ est homéomorphe à un fermé de $[0,1]^{\N}$. On les identifie ci-dessous.

    Pour tout $n\in \N$, $C^0(X,[0,1]^n)$ est séparable (traiter le cas $n=1$ avec l'argument de Poirot et raisonner coordonnées par coordonnées). $[0,1]^{\N}$ est muni de la métrique $\delta:x,y \mapsto 2^{-n}|x_n - y_n|$, Soit pour tout $m\in \N$, $D_m$ dénombrable dans $C^0(X,[0,1]^{\N})$ tel que en posant $p_m:x\in [0,1]^{\N} \mapsto (x_0,...,x_m)$ $\in [0,1]^{n+1}$ (édité), $\{p_m \circ g \mid g \in D_{m+1}\}$ soit dense (ça existe par ce qui précède). Alors $\bigcup_{m\in \N} D_m$ est dense dans $C^0(X,[0,1]^{\N})$. Donc cet espace est séparable et son sous-espace $C^0[(X,d),(X,\delta)]$ l'est aussi. Comme $X$ est compact, l'identité $(X,d) \mapsto (X,\delta)$ est uniformément continue et sa réciproque aussi donc la topologie de la convergence uniforme pour ces distances est la même.

    Par suite $C^0[(X,d),(X,d)]$ est séparable.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Cere
    Cere
    Oui exact @Foys je parle bien de $C(X,X)$.

    Edit: Je viens de voir ton dernier message, je vais le lire.
  • Cere
    Cere
    Pardon de ma réponse tardive @Foys,
    Merci de ta réponse, j'ai eu la réponse à ma question et en plus une démonstration, je suis gâté :-D !
  • Cere
    Cere
    @Foys
    Peux-tu m'éclairer un peu sur comment tu définis $p_{m}$, je n'arrive pas à comprendre.
  • Foys
    Foys
    @Cere: j'ai édité mon message; $p_m$ est le projecteur sur les $m+1$ premières coordonnées.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Corto
    Corto
    Intéressant comme problème, surtout qu'a priori à part les constantes on ne sait pas trop quelles sont les fonctions de $C^0(X,X)$. Autre point que je trouve intéressant : j'avais déjà vu plusieurs fois que tout espace métrique compact se plonge dans $[0;1]^\N$ mais c'est une des premières fois que j'en vois une application.

    J'avais pensé à la démonstration suivante : on prend $(x_n)_n$ une suite dense dans $X$ et on regarde toutes les fonctions de $\{x_0,\ldots,x_n\}$ dans lui même avec $n$ qui parcours $\N$. On note $(f_k)_{k\in \N}$ la famille de ces fonctions qui est bien dénombrable, on remarque de plus que toutes ces fonctions sont lipschitziennes. Vient alors le point délicat (et crucial) : on prolonge $f_k$ à tout $X$ en $\tilde f_k $ de sorte à ce que $\tilde f_k$ soit lipschitzienne de même constante que $f_k$. On démontre alors assez facilement à l'aide de la continuité uniforme que $(\tilde f_k)_k$ est dense dans $C^0(X,X)$.

    Malheureusement je ne sais même pas si ce théorème de prolongement est vrai.
  • christophe c
    christophe c
    Une question parente. On suppose toujours $X$ métrique et compact et on note $C$ l'ensemble des applications continues de $X\to X$, que l'on dote de $d_2:= (f,g) \mapsto sup_x d(f(x),g(x))$.

    Soit $A$ inclus dans $C$ tel que $\forall f,g$ distinctes dans $A: d_2(f,g)\geq 1$.

    Question: se peut-il que $A$ ne soit pas dénombrable?

    L'affirmation que "non" entraine l'énoncé du fil.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Cere
    Cere
    @Christophe c
    Je commence à avoir un peu d'intuition pour répondre à ta question, je n'ai pas encore trouvé de résolution, mais je voulais que tu saches que j'avais bien vu la question!
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