Frontière d'une boule ouverte
Bonjour,
J'ai vu quelque part que dans un espace métrique séparable, la frontière de la boule ouverte $B_r(x) = \{y \mid d(y,x) < r\}$ est la sphère $S_r(x) = \{y \mid d(y,x) = r\}$. Je sais que ce n'est pas vrai dans un métrique quelconque, pourquoi est-ce vrai dans un séparable ?
J'ai vu quelque part que dans un espace métrique séparable, la frontière de la boule ouverte $B_r(x) = \{y \mid d(y,x) < r\}$ est la sphère $S_r(x) = \{y \mid d(y,x) = r\}$. Je sais que ce n'est pas vrai dans un métrique quelconque, pourquoi est-ce vrai dans un séparable ?
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Réponses
Non, c'est faux. Regarde pour {0,1} par exemple.
Je pense que c'est plutôt avec séparé. En ce qui me concerne, ça m'est déjà arrivé plusieurs fois de buguer à cause de la ressemblance entre ces deux mots.
Il serait intéressant de caractériser les espaces métriques dans lesquels la frontière de toute boule est la sphère. Peut-être une question de connexité ?
Merci Titi pour avoir cerné le pb.
Pour le reste je ne suis guère compétent