Espace de Lusin, définitions équivalentes
Bonjour,
Je trouve deux définitions d'un espace de Lusin $X$ :
(1) $X$ est homéomorphe à un borélien d'un espace métrique compact.
(2) $X$ est l'image d'un espace polonais par une application bijective continue.
Comment démontrer que ces deux définitions sont équivalentes ?
Pour "(1) $\implies$ (2)", on peut utiilser :
Proposition. Tout borélien d'un espace polonais est l'image par une application continue injective d'un espace polonais de dimension $0$.
On démontre "(1) $\implies$ (2)" avec cette proposition en remarquant qu'un espace métrique compact est polonais.
Quid de "(2) $\implies$ (1)" ?
Je trouve deux définitions d'un espace de Lusin $X$ :
(1) $X$ est homéomorphe à un borélien d'un espace métrique compact.
(2) $X$ est l'image d'un espace polonais par une application bijective continue.
Comment démontrer que ces deux définitions sont équivalentes ?
Pour "(1) $\implies$ (2)", on peut utiilser :
Proposition. Tout borélien d'un espace polonais est l'image par une application continue injective d'un espace polonais de dimension $0$.
On démontre "(1) $\implies$ (2)" avec cette proposition en remarquant qu'un espace métrique compact est polonais.
Quid de "(2) $\implies$ (1)" ?
Réponses
-
Ca doit être fait dans Bourbaki Topologie générale chapitres 5 à 10 (je n'ai plus le bouquin malheureusement).Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
-
On aurait même :
(1) $X$ est homéomorphe à un borélien d'un espace métrique compact.
(2) $X$ est l'image d'un espace polonais par une application bijective continue.
(3) $X$ est l'image d'un espace polonais de dimension $0$ par une application bijective continue.
On a vu "(1)$\implies$(3)". L'équivalence "(2)$\iff$(3)" est démontrée dans Bourbaki.
Reste à montrer "(3)$\implies$(1)". Un théorème dans Kechris dit qu'un espace polonais de dimension $0$ est homéomorphe à un $G_\delta$ de l'espace de Cantor. Ce dernier est métrique et compact. Donc ça me semble bon. -
Que signifie "espace polonais"? On me l'a dit 1000 fois et je ré-oublie à chaque fois :-XAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
Polonais = séparable et complètement métrisable (i.e. il existe une métrique compatible pour laquelle l'espace est complet).
-
Et pour complément, polonais $\iff$ homéomorphe à un $G_\delta$ du cube de Hilbert ${[0,1]}^\mathbb{N}$.
-
Merci à toi!Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
Attendez, j'ai dit ça :
On en déduit que (3) implique que $X$ est l'image d'un borélien d'un espace métrique compact par une bijection continue. Mais pourquoi homéomorphe ?Saturne a écrit:Un théorème dans Kechris dit qu'un espace polonais de dimension 0 est homéomorphe à un $G_\delta$ de l'espace de Cantor. -
En fait tu as deux grosses sortes d'espaces polonais:
1/ Ceux qui peu ou prou sont les sous-ensembles boréliens de $[0,1]$
:-D Et en fait, non, tu n'en as qu'une sorte celle que je viens de dire.
Bon, je vais le dire autrement: tu as $2^\N$ et $\N^\N$ et leurs quotients
Précision: je ne viens pas d'énoncer des théorèmes, mais des slogans
Chaque fois, ce sont des petits codages qui font passer des uns aux autres. Par exemple, à peu de choses près, tu retrouves $\N^\N$ dans $2^\N$ en considérant les parties infinies (suites strictement croissantes donc) de $\N$ et en regardant $n\mapsto u(n+1)-u(n)$
En quotientant $2^\N$ tu retrouves $[0,1]$. Tu as des surjections continues de $[0,1]$ dans tous les $[0,1]^n$, etc.
Comme, d'après ta définition un polonais il est séparable, c'est "essentiellement" un sous-espace de $\N^\N$, puis ses points sont des limites de suites à termes dans le dense. Et comme $\N^\N$ se retrouve dans $2^\N$, qui se retrouve dans $[0,1]$, etc....
Quand on fait ça proprement, on regarde "matrix" à la télé et on tape doucement le latex voulu (et ça fait 40 pages) sans inspiration.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Dans un livre, il est dit qu'il existe des Lusin non métrisables. Or un sous-ensemble d'un espace métrique est métrique, et un espace homéomorphe à un espace métrique est métrisable. Non ?
-
Ah oui, dans Dellacherie & Meyer, on distingue les Lusin métrisables et les Lusin au sens de Bourbaki.
-
En construisant un isomorphisme d'espaces mesurables entre $[0,1]^{\N}$ et $[0,1]$ (en dehors d'ensembles dénombrables on a des bijections bimesurables évidentes entre $[0,1],\{0,1\}^{\N}$, $\left( \{0,1\}^{\N} \right)^{\N} \simeq \{0,1\}^{\N^2}$ et $[0,1]^{\N}$), on peut montrer via le résultat de Saturne ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,2003790,2003810#msg-2003810 que tout polonais est isomorphe en tant qu'espace mesurable à un borélien de $[0,1]$. Autrement dit les résultats de désintégration de mesure un peu subtils peuvent se démontrer dans $\R$ (comme l'existence d'une loi conditionnelle comme noyau par exemple). C'est quand même pratique.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
-
En fait il y a une preuve pas difficile de "(1)$\implies$(2)", ce qui suffit pour ce à quoi je m'intéresse (je souhaitais démontrer qu'un Lusin métrisable est fortement de Lindelöf).
-
Un résultat qui peut t'intéresser qui couvre bien au delà de ce que tu demandes c'est juste que les boréliens sont des analytiques. Mais il faut regarder d'un peu plus près omega1 qu'à l'accoutumée pour voir les phénomènes.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
En parlant d'analytiques, on a "(a)$\implies$(b)" où
(a) X est homéomorphe à un analytique d'un espace métrique compact.
(b) X est l'image d'un espace polonais par une application continue. -
Un espace mesurable est dit standard de Borel s'il est isomorphe à un espace polonais muni de sa tribu borélienne. Pourquoi un Lusin muni de sa tribu borélienne est-il standard de Borel ?
-
Un espace topologique $X$ est dit de Suslin (ou Souslin) s'il existe une application continue d'un polonais dans $X$. On dit aussi que $X$ est analytique.
J'ai lu ceci dans un livre : "Si $\tau_1$ et $\tau_2$ sont deux topologies de Suslin comparables, alors les tribus boréliennes associées à $\tau_1$ et $\tau_2$ sont les mêmes". Pourquoi cela ? -
s'il existe une application continue d'un polonais dans $X$
Dans ce cas n'importe qui est de Souslin, les constantes étant toujours continues. Tu as peut-être oublié "surjective".
Si tu le souhaites, je pourrai passer 1H à rédiger un topo sur les équivalences et correspondances. Mais je ne connais pas les mots de vocabulaire. Je me contente de borélien et analytique, puisque c'est un domaine où plein de noms différents ont été donnés aux mêmes choses à cause des époques.
Le roi du roi de ces "curiosités" c'est tout de même $\N^\N$ muni de la produit de la discrète, et plus généralement $E^\N$, mais ce dernier n'est pas forcément séparable (mais ils sont évidemment métrisables (lexicographie-like)).
Il y a une hiérarchie: les analytiques sont plus riches que les boréliens, et plus généralement il y a les projectifs (qu'on obtient par passage au complémentaire et projections itérés).
J'espère qu'à l'intérieur tu sauras y retrouver les Lusin, les Souslin, etc.
Si les gens ont galéré à l'époque, c'est parce qu'ils cherchaient à prouver des choses improuvables. Aujourd'hui ça a le mérité d'être devenu totalement connu et clair (même s'il peut rester de détails ouverts), par exemple, on ne parvient à prouver la mesurabilité dans ZFC que jusqu'à analytiques (et donc co-analytiques), mais après il faut des axiomes. Par la détermination (qui est en fait l'ingrédient pertinent), on ne peut aller que jusqu'à "boréliens" (après idem, axiomes requis).
Par ailleurs, si tu t'intéresses vraiment à ce sujet, le nec plus ultra et qui est très simple, c'est leur classification via les degrés de Wadge, qui est une des plus fines échelles qui aient été élaborées.
Je te laisse me préciser tes buts.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Merci @christophe c.
J'ai trouvé des réponses à ces questions dans Measure Theory de Cohn et Radon measures on arbitrary topological spaces de Schwartz.
Pas de but, je me demandais juste par curiosité pourquoi un Lusin définit un Borel standard. -
D'accord, en tout cas n'hésite pas.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
Merci @christophe c.
En fait on a "standard de Borel$\iff$isomorphe à un borélien d'un polonais" (ceci se prouve avec les analytiques). Donc un Lusin est standard de Borel. -
Je réponds ici à ta question http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,2006954,2006954#msg-2006954
Ca n'arrive "jamais". Etre mesurable est une condition qui la plupârt du temps (en tout cas dans tes centres d'intérêt) est vrai pour toutes les fonctions non définies avec grosse exploitation typique de l'axiome du choix. Alors que les fonctions que tu définis sont automatiquement en très petit nombre, puisqu'on met aisément une surjection de IR sur l'ensemble des fonctions continues, donc évidemment aussi sur l'ensemble de tes fonctions.
Par contre, pour toute fonction "no magic choice" $f$, tu as que:
1/ il existe $A$ de complémentaire maigre tel que la restriction de $f$ à $A$ est continue
2/ pour tout $e>0$, il existe $A$ de complémentaire de mesure $<e$ tel que la restriction de $f$ à $A$ est continue
Ce sont des évidences provenant du fait que:
1/ Tout ensemble de réels "no magic choice" est un ouvert à un maigre près et
2/ Pour tout $e>0$, tout ensemble de réels "no magic choice" est un ouvert à un ensemble de mesure $<e$ près.
3/ Il te suffit alors d'examiner les images réciproques des intervalles à extrémités rationnelles, en nombre dénombrable, et de virer toutes les exceptions à l'ouverture (soit dans ton maigre final, soit dans ton "petite mesure" final).Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Comment ça ça n'arrive jamais ? C'est vrai lorsque $E$ est métrique et $E' = \mathbb{R}$.
-
Les fonctions dont tu parles (je n'ai pas recliqué, je vérifierai si je t'ai bien lu) ne peuvent pas former TOUTES les fonctions mesurables.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
Soit C la plus petite classe de fonctions de E dans E' contenant les fonctions continues et stable par limites simples de suites
A moins qu'on ne se comprenne pas, il y a très peu de telles fonctions (une quantité égale au continu), alors que "essentiellement toutes" les fonctions sont mesurables.
Par exemple, tu as une fonction $\phi$ qui est mesurable et telle que $\forall f\in C$, il existe $a\in \R$ tel que pour tout $y\in \R: \phi(x,y)= f(y)$
Il te suffit alors de prendre $x\mapsto \phi(x,x)+1$ qui est aussi mesurable.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Bah pourtant c'est vrai :-( Je t'enverrai des réfs, mais c'est un truc bien connu en probas.
-
Voilà, ça s'appelle le théorème de Lebesgue-Hausdorff.
-
Pardon du temps. On ne parlait pas du tout de la même chose!!!!!
toi, tu entendais par mesurable le fait d'être limite de limite de limite ... de fonctions continues (ou même plutôt les boréliennes). Ca n'a rien à voir. Je suis très surpris que tu qualifies ça de "mesurable" dans ta spécialité.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Mais non bon sang :-D C'est mesurable au sens standard. Pourtant tu n'as pas rechigné dans mon post sur la hiérarchie de Borel, c'est la même chose.
-
Bon maintenant on s'est compris, d'ailleurs, je n'avais pas capté quand je t'ai mis un sketch preuve dans ton autre fil pour le sens pénible "[large]B[/large]orel => limite de limite de limite)".
Mais je t'assure que souvent mesurable ça veut dire Lebesgue mesurable. Bon pas grave et PARDON.
[Émile Borel (1871-1956) prend toujours une majuscule. :-D AD]Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 64 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 35
+26 Invités