Distances atteintes

Et pourquoi la distance est-elle atteinte pour les fermés en dimension finie, hein ? Par définition, la distance de $x$ à un fermé $A$ est $d(x,A)=\inf\{d(x,a),\ a\in A\}$ (si $A$ n'est pas vide, l'ensemble des $d(x,a)$ est une partie non vide de $\R$ minorée par $0$, d'où l'existence de la borne inférieure). Il existe une suite $(a_n)$ de points de $A$ telle que $\lim_{n\to\infty}d(x,a_n)=d(x,A)$ (pourquoi au fait ?). Pour $n$ assez grand, tous les points $a_n$ appartiennent au compact $A\cap B(x,a_0+1)$ (pourquoi ? pourquoi est-ce un compact ?). La suite $(a_n)$ admet donc une sous-suite $a_{\phi(n)}$ qui converge vers un point $a$ de $A$. Comme $d(x,a)=\lim_{n\to\infty}d(x,a_n)$ (pourquoi ?), on peut conclure.

Non, évidemment. Cela veut dire que pour tout $x\in X$, il existe (au moins) un élément $a_x\in A$ (qui dépend de $x$) tel que $d(x,A)=d(x,a_x)$.

Ça veut dire que, pour tout $x$, la borne inférieure de la fonction $f_x:A\to \mathbb R$ définie par $a\mapsto d(x,a)$ est atteinte. Ça ne veut évidemment pas dire que cette borne inférieure est la même pour tout $x$, ni que la borne inférieure est atteinte en le même $a\in A$ pour tout $x$ !