Distances atteintes
Bonsoir à tous,
Il y a dans mon cours sur les espaces normés une notion que j'ai du mal à comprendre concernant la distance à un fermé en dimension finie. Il est dit que dans le cas d'une partie fermée non vide de dimension finie, les distances aux parties fermées sont atteintes. Je n'arrive pas à comprendre cette notion. Que veut dire exactement que les distances sont atteintes ?
Merci par avance.
Il y a dans mon cours sur les espaces normés une notion que j'ai du mal à comprendre concernant la distance à un fermé en dimension finie. Il est dit que dans le cas d'une partie fermée non vide de dimension finie, les distances aux parties fermées sont atteintes. Je n'arrive pas à comprendre cette notion. Que veut dire exactement que les distances sont atteintes ?
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Réponses
On dit que la distance de $x \in X$ à $A$ est atteinte si $\exists a \in A$, tel que $
d(a,x)
=
d(A,x)
$.
En d'autres termes, $\forall a' \in A$, on doit avoir : $
d(a,x)
\leqslant
d(a',x)
$.
Pour que la distance à $A$ soit atteinte tout court, il faut et il suffit que ce soit le cas pour tous les $x \in X$.
[Inutile de répéter un message précédent. Poirot]
Merci Marsup,
Cela veut il dire que "quand la distance est atteinte tout court", cette distance entre n'importe quel $x$ et la partie A est la même pour tout $x$? il n'y aurait plus alors de notion de distance qui serait minimum pour un point en particulier de $X$?
La distance de $x$ à $A$ est définie comme la borne inférieure de la fonction $f: A\to \mathbb R$ définie par $f(a)=d(x,a)$.
Oui, je comprends que pour un $x$ en particulier de $X$, il existe un point $a$ de $A$ pour lequel la distance est minimum et c'est le "inf" de ta fonction si je ne m'abuse...
Ce que je ne comprends pas c'est le pourquoi du terme distance "atteinte", mais il faut que je me replonge plus en détail dans les explications de Math Coss...
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
Deux exemples dans $X=\R$ avec la distance naturelle ($d(x,y)=|x-y|$) :